Stetigkeit der Inklusionsabbildung zwischen topologischen Räumen

Seien \( X \) ein topologischer Raum und \( Y \) eine Teilmenge von \( X \). Die Inklusionsabbildung \( f : Y \to X \) ist durch \( f(y) = y \) für alle \( y \in Y \) definiert. Diese Abbildung ist stetig.

Die Inklusionsabbildung ist eine der grundlegendsten Abbildungen der Topologie. Sie ordnet jedem Element von \( Y \) genau dieses Element zu, nun jedoch als Punkt des größeren Raums \( X \), in dem \( Y \) liegt.

Man kann sich das so vorstellen, dass die Punkte von \( Y \) nicht verändert werden, sondern lediglich in einen weiteren topologischen Zusammenhang eingeordnet werden.

Aus topologischer Sicht ist diese Abbildung stets stetig.

Bemerkung : Die Inklusionsabbildung sollte nicht mit der Identitätsabbildung verwechselt werden. Zwar ist die Zuordnungsvorschrift dieselbe, doch handelt es sich um unterschiedliche Situationen. Die Inklusion verbindet zwei verschiedene Räume, nämlich eine Teilmenge und den umgebenden Raum, während die Identitätsabbildung innerhalb eines einzigen Raums definiert ist.

Warum ist sie stetig ?

In der Topologie nennt man eine Abbildung stetig, wenn das Urbild jeder offenen Menge wieder offen ist. Das heißt konkret: Zu jeder offenen Menge \( U \subset X \) muss die Menge \( f^{-1}(U) \) eine offene Menge in \( Y \) sein.

Genau hier kommt die Definition der induzierten Topologie ins Spiel. Die offenen Mengen von \( Y \) sind per Definition genau die Schnitte offener Mengen von \( X \) mit \( Y \).

$$ f^{-1}(U) = U \cap Y $$

Ist \( U \) in \( X \) offen, dann ist der Schnitt \( U \cap Y \) automatisch offen in \( Y \). Damit erfüllt die Inklusionsabbildung unmittelbar das Stetigkeitskriterium.

Bemerkung : Dieses Argument zeigt sehr anschaulich, dass die induzierte Topologie auf \( Y \) genau so gewählt ist, dass die Inklusionsabbildung ohne zusätzliche Annahmen stetig ist.

Ein konkretes Beispiel

Betrachten wir den topologischen Raum \( X = \mathbb{R} \), also die reelle Zahlengerade, und die Teilmenge \( Y = (0, 1) \), das offene Intervall zwischen 0 und 1.

Die Inklusionsabbildung \( f : Y \to X \) ordnet jedem Punkt \( y \in Y \) genau denselben reellen Wert zu:

$$ f(y) = y \quad \text{für alle} \quad y \in (0,1) $$

Anschaulich bedeutet das, dass die Punkte des Intervalls \( (0,1) \) lediglich als Teil der gesamten reellen Achse betrachtet werden.

Im Rahmen der induzierten Topologie gilt: Für jede offene Menge \( U \subset X \) ist der Schnitt \( U \cap Y \) eine offene Menge in \( Y \).

Als Beispiel wählen wir das offene Intervall \( U = (-1, 0{,}5) \subset \mathbb{R} \), versehen mit der üblichen Topologie.

Der Schnitt dieser offenen Menge mit \( Y = (0, 1) \) ergibt:

$$ U \cap Y = (-1, 0{,}5) \cap (0, 1) = (0, 0{,}5) $$

Das Resultat ist ein offenes Intervall in \( Y \) und damit eine offene Menge im Sinne der induzierten Topologie.

Da dieses Argument für jede offene Menge \( U \subset X \) gilt, folgt insgesamt, dass die Inklusionsabbildung \( f : Y \to X \) stetig ist.

Und so weiter.