Stetigkeit in der Quotiententopologie
Die Quotiententopologie ist so konstruiert, dass eine surjektive Abbildung \( f : X \to A \) automatisch stetig ist. Eine Teilmenge \( V \subseteq A \) gilt genau dann als offen, wenn ihr Urbild \( f^{-1}(V) \) in \( X \) offen ist.
Ausgangspunkt ist ein topologischer Raum \( X \) und eine surjektive Abbildung \( f : X \to A \). Die Menge \( A \) ist dabei zunächst nur eine abstrakte Menge. Es wird keine Einbettung \( A \subseteq X \) vorausgesetzt.
Die Quotiententopologie auf \( A \) wird über eine einfache, aber zentrale Idee definiert. Offenheit in \( A \) wird vollständig über die Urbilder in \( X \) festgelegt.
Konkret heißt das: Eine Teilmenge \( V \subseteq A \) wird genau dann als offen definiert, wenn \( f^{-1}(V) \) eine offene Teilmenge von \( X \) ist.
Damit ist die Stetigkeit von \( f \) keine Eigenschaft, die überprüft werden muss. Sie ist bereits in der Definition der Topologie auf \( A \) enthalten.
Anmerkung : Die Quotiententopologie kehrt die übliche Perspektive um. Nicht die Abbildung wird an die Topologie angepasst, sondern die Topologie wird so gewählt, dass die Abbildung stetig ist.
Ein konkretes Beispiel
Betrachten wir die Menge \( X = \{a, b, c\} \), versehen mit einer Topologie. Definieren wir eine surjektive Abbildung \( f : X \to A \) mit \( A = \{1, 2\} \) durch:
- \( f(a) = f(b) = 1 \)
- \( f(c) = 2 \).
Die Abbildung identifiziert die Punkte \( a \) und \( b \), da beide auf dasselbe Element \( 1 \) abgebildet werden.
In der Quotiententopologie ist eine Teilmenge \( V \subseteq A \) genau dann offen, wenn ihr Urbild \( f^{-1}(V) \) in \( X \) offen ist.
Wählen wir \( V = \{1\} \subseteq A \). Dann ist \( f^{-1}(\{1\}) = \{a, b\} \). Ist \( \{a, b\} \) offen in \( X \), so ist auch \( \{1\} \) offen in \( A \).
Die offenen Mengen von \( A \) ergeben sich daher direkt aus den offenen Urbildern in \( X \). Angenommen, \( \{a, b\} \) und \( \{c\} \) sind offen in \( X \). Dann gilt:
- \( f^{-1}(\emptyset) = \emptyset \), offen in jeder Topologie
- \( f^{-1}(\{1\}) = \{a, b\} \), offen in \( X \)
- \( f^{-1}(\{2\}) = \{c\} \), offen in \( X \)
- \( f^{-1}(\{1, 2\}) = X \), ebenfalls offen
Folglich sind die offenen Mengen in \( A \): \( \emptyset \), \( \{1\} \), \( \{2\} \) und \( \{1, 2\} \).
Dieses Beispiel zeigt anschaulich, wie die Quotiententopologie funktioniert. Die Struktur der offenen Mengen in \( A \) wird vollständig durch die Topologie von \( X \) und die Abbildung \( f \) bestimmt.
Zusammengefasst ist die Stetigkeit von \( f \) eine direkte Konsequenz der Definition der Quotiententopologie.
Und so weiter.
