Stetigkeit und Konvergenz von Folgen

Sei $ f : X \to Y $ eine stetige Abbildung und sei $ (x_n) $ eine Folge in $ X $, die gegen einen Punkt $ x $ konvergiert. Dann konvergiert auch die Bildfolge $ (f(x_n)) $ in $ Y $ gegen $ f(x) $.

Mit anderen Worten, stetige Abbildungen bewahren Grenzwerte von Folgen.

Die Idee ist einfach und zentral zugleich. Wenn sich die Werte einer Folge immer weiter einem Punkt annähern, dann tun es auch ihre Bilder unter einer stetigen Abbildung. Stetigkeit sorgt also dafür, dass der Grenzübergang mit der Abbildung verträglich ist.

Ein einfaches Beispiel
Beweisidee

Ein einfaches Beispiel

Betrachten wir die Funktion $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ mit $ f(x) = 2x $ sowie die Folge $ x_n = \frac{1}{n} $ für $ n \in \mathbb{N} $.

Die Folge $ (x_n) $ konvergiert gegen $ 0 $, wenn $ n \to \infty $.

Die ersten Folgenglieder lauten: $ x_1 = 1 $, $ x_2 = \frac{1}{2} $, $ x_3 = \frac{1}{3} $, und so weiter.

Mit wachsendem $ n $ werden die Werte immer kleiner und nähern sich $ 0 $.

Wenden wir nun die Funktion $ f $ auf diese Werte an:

$$ f(x_1) = f(1) = 2 $$

$$ f(x_2) = f\left(\frac{1}{2}\right) = 1 $$

$$ f(x_3) = f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} $$

$$ \dots $$

Die entstehende Bildfolge ist $ (f(x_n)) = (2x_n) = 2, 1, \frac{2}{3}, \dots $.

Auch diese Folge konvergiert gegen $ 0 $.

Damit sehen wir konkret: $ f(x_n) \to f(0) = 0 $. Die Stetigkeit der Funktion stellt sicher, dass der Grenzwert erhalten bleibt.

Beweisidee

Wir zeigen, dass aus $ x_n \to x $ stets $ f(x_n) \to f(x) $ folgt, sofern $ f $ stetig ist.

Der zentrale Punkt ist die Definition der Stetigkeit über offene Mengen. Eine Abbildung ist stetig, wenn das Urbild jeder offenen Menge wieder offen ist.

Diese Eigenschaft erlaubt es, das Verhalten der Folge $ (x_n) $ direkt auf die Bildfolge $ (f(x_n)) $ zu übertragen.

Schritt 1: Umgebung von $ f(x) $

Sei $ U \subseteq Y $ eine offene Umgebung von $ f(x) $.

Wir wollen zeigen, dass ab einem gewissen Index alle Werte $ f(x_n) $ in $ U $ liegen.

Schritt 2: Urbild betrachten

Da $ f $ stetig ist, ist das Urbild $ f^{-1}(U) \subseteq X $ offen.

Außerdem gilt $ x \in f^{-1}(U) $.

Schritt 3: Konvergenz ausnutzen

Weil $ x_n \to x $, liegen ab einem gewissen Index alle $ x_n $ in jeder offenen Umgebung von $ x $, also insbesondere in $ f^{-1}(U) $.

Schritt 4: Zurück in den Zielraum

Daraus folgt direkt, dass für hinreichend große $ n $ gilt: $ f(x_n) \in U $.

Genau das bedeutet, dass $ f(x_n) \to f(x) $.

Damit ist gezeigt: Stetige Abbildungen sind verträglich mit Grenzübergängen von Folgen.