Topologische Definition der Stetigkeit

Eine Abbildung $ f : X \to Y $ heißt genau dann stetig, wenn für jeden Punkt $ x \in X $ und jede offene Menge $ U \subset Y $, die $ f(x) $ enthält, eine Umgebung $ V $ von $ x $ existiert, so dass $ f(V) \subset U $ gilt.

Anschaulich bedeutet das: Kleine Änderungen im Definitionsbereich führen nur zu kleinen Änderungen im Zielraum. Topologisch präzise formuliert heißt das jedoch:

Eine Abbildung $ f : X \to Y $ ist stetig, wenn für jede offene Menge $ U \subset Y $ das Urbild $ f^{-1}(U) $ eine offene Teilmenge von $ X $ ist.

Schematische Darstellung der Stetigkeit anhand von Urbildern offener Mengen

Mit anderen Worten: Das Urbild jeder offenen Menge des Zielraums ist im Definitionsbereich wieder offen.

Diese Formulierung kommt ohne Abstände, Grenzwerte oder Beträge aus. Sie stützt sich ausschließlich auf die Struktur der offenen Mengen in den beteiligten Räumen. Genau deshalb spricht man hier von der topologischen Definition der Stetigkeit.

Bemerkung : Dieses Resultat wird häufig als Äquivalenz der Stetigkeitsdefinitionen bezeichnet. Es zeigt, dass zwei klassische Zugänge zur Stetigkeit dieselbe Eigenschaft beschreiben: die topologische Definition über offene Mengen und die analytische $\varepsilon$-$\delta$-Definition. Letztere lautet: "Eine Funktion $ f $ ist in einem Punkt $ x_0 \in \mathbb{R} $ stetig, wenn es zu jedem $\varepsilon > 0$ ein $\delta > 0$ gibt, so dass für alle $ x \in \mathbb{R} $ aus $ |x - x_0| < \delta $ folgt, dass $ |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon $". Diese Definition begegnet uns in den einführenden Analysis-Vorlesungen.

Die Stetigkeit lässt sich außerdem über abgeschlossene Mengen charakterisieren: Eine Abbildung ist genau dann stetig, wenn das Urbild jeder abgeschlossenen Menge wieder abgeschlossen ist.

Für eine Abbildung $ f : X \to Y $ zwischen topologischen Räumen gilt also: $ f $ ist stetig genau dann, wenn für jede abgeschlossene Menge $ C \subset Y $ das Urbild $ f^{-1}(C) $ in $ X $ abgeschlossen ist.

Offene und abgeschlossene Mengen sind komplementäre Begriffe. Dass beide dieselbe Stetigkeit beschreiben, unterstreicht die innere Geschlossenheit des topologischen Ansatzes.

Ein konkretes Beispiel
Beweis

Ein konkretes Beispiel

Betrachten wir die Funktion $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $, definiert durch $ f(x) = x^2 $.

Wir überprüfen ihre Stetigkeit mithilfe der topologischen Definition.

Nach dieser Definition ist $ f $ stetig, wenn für jede offene Menge $ U \subset \mathbb{R} $ und jeden Punkt $ x \in f^{-1}(U) $ eine Umgebung $ V $ von $ x $ existiert, so dass $ f(V) \subset U $ gilt.

Wählen wir als Beispiel die offene Menge $ U = (1, 4) $. Dieses Intervall enthält alle reellen Zahlen strikt zwischen 1 und 4.

Offenes Intervall von 1 bis 4 im reellen Zahlenraum

Bestimmen wir nun das Urbild $ f^{-1}(U) $. Gesucht sind alle $ x \in \mathbb{R} $, für die $ x^2 \in (1, 4) $ gilt.

Wir lösen die Ungleichung

$$ 1 < x^2 < 4 $$

Dies ist äquivalent zu

$$ 1 < |x| < 2 $$

Daraus folgt $ x \in (-2, -1) \cup (1, 2) $. Diese Menge ist offensichtlich offen in $ \mathbb{R} $.

Das Urbild der offenen Menge $ U $ ist also wieder offen. Genau das verlangt die Definition.

Wählen wir nun einen konkreten Punkt aus dem Urbild, zum Beispiel $ x = 1{,}5 $.

Dann gilt $ f(1{,}5) = 2{,}25 $, und dieser Wert liegt in $ (1, 4) $.

Punkt 1,5 und sein Bildwert 2,25 im offenen Intervall

Nun suchen wir eine Umgebung $ V $ von $ x = 1{,}5 $, deren Bild vollständig in $ (1, 4) $ liegt.

Wir wählen das Intervall $ V = (1{,}4, 1{,}6) $.

Offene Umgebung um 1,5 im Definitionsbereich

Berechnen wir die Randwerte des Bildes:

$$ f(1{,}4) = 1{,}96 \quad \text{und} \quad f(1{,}6) = 2{,}56 $$

Somit gilt $ f(V) = (1{,}96, 2{,}56) \subset (1, 4) $.

Für diesen Punkt existiert also tatsächlich eine Umgebung, deren Bild vollständig in $ U $ liegt. Dasselbe Argument funktioniert für jeden Punkt von $ \mathbb{R} $.

Daraus folgt: Die Funktion $ f(x) = x^2 $ ist auf ganz $ \mathbb{R} $ stetig.

Bemerkung : Stetigkeit ist keine lokale Zufallseigenschaft, sondern eine globale Eigenschaft der Abbildung. Damit eine Funktion stetig ist, muss die definierende Bedingung an jedem Punkt $ x \in X $ erfüllt sein. Im Fall von $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ bedeutet das: Für jedes $ x \in \mathbb{R} $ und jede offene Menge $ U $, die $ f(x) $ enthält, existiert eine Umgebung $ V $ von $ x $, so dass $ f(V) \subset U $ gilt.

Beweis

Die Äquivalenz der beiden Formulierungen zeigen wir in zwei Richtungen.

A] Erste Richtung

Angenommen, $ f $ ist im topologischen Sinn stetig.

Sei $ x \in X $ und $ U \subset Y $ offen mit $ f(x) \in U $.

Setzen wir $ V = f^{-1}(U) $.

Da $ f $ stetig ist, ist $ V $ offen in $ X $. Außerdem gilt $ x \in V $ und per Definition $ f(V) \subset U $. Damit ist die geforderte Eigenschaft erfüllt.

B] Zweite Richtung

Nun nehmen wir an, dass zu jedem Punkt $ x \in X $ und jeder offenen Menge $ U \subset Y $, die $ f(x) $ enthält, eine Umgebung $ V $ existiert mit $ f(V) \subset U $.

Zu zeigen ist: Für jede offene Menge $ W \subset Y $ ist $ f^{-1}(W) $ offen in $ X $.

Sei also $ x \in f^{-1}(W) $. Dann gilt $ f(x) \in W $. Nach Voraussetzung existiert eine Umgebung $ V_x $ von $ x $ mit $ f(V_x) \subset W $.

Daraus folgt unmittelbar $ V_x \subset f^{-1}(W) $.

Damit enthält $ f^{-1}(W) $ zu jedem seiner Punkte eine offene Umgebung. Also ist $ f^{-1}(W) $ selbst offen.

Schlussfolgerung

Die Definition der Stetigkeit über offene Mengen und die Formulierung über Umgebungen beschreiben exakt dieselbe Eigenschaft. Beide Sichtweisen sind vollständig äquivalent.