Verklebungslemma
Sei \( X \) ein topologischer Raum und seien \( A \) und \( B \) zwei abgeschlossene Teilmengen, deren Vereinigung den gesamten Raum ergibt, also \( A \cup B = X \). Seien außerdem die Abbildungen \( f : A \to Y \) und \( g : B \to Y \) stetige Abbildungen in einen topologischen Raum \( Y \), die auf der Schnittmenge \( A \cap B \) übereinstimmen, das heißt \( f(x) = g(x) \) für alle \( x \in A \cap B \). Dann ist die Abbildung \( h : X \to Y \), definiert durch : $$ h(x) = \begin{cases} f(x) & \text{falls } x \in A, \\ g(x) & \text{falls } x \in B, \end{cases} $$ stetig.
Das Verklebungslemma beschreibt also, unter welchen Bedingungen sich zwei lokal definierte stetige Abbildungen zu einer global stetigen Abbildung zusammensetzen lassen.
Sind zwei stetige Funktionen \( f : A \to Y \) und \( g : B \to Y \) auf sich überlappenden Teilmengen definiert und stimmen sie auf deren Schnittmenge überein, so können sie zu einer einzigen stetigen Abbildung \( h \) auf der Vereinigung \( A \cup B \) zusammengeführt werden.
Ein anschauliches Beispiel
Betrachten wir zwei Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen:
- \( f : [0, 1] \to \mathbb{R} \) mit \( f(x) = x \), stetig auf \( [0, 1] \);
- \( g : [1, 2] \to \mathbb{R} \) mit \( g(x) = 2 - x \), stetig auf \( [1, 2] \).
Wir prüfen nun die Voraussetzungen des Verklebungslemmas:
- Abgeschlossene Mengen: Die Intervalle \( [0, 1] \) und \( [1, 2] \) sind abgeschlossene Teilmengen von \( \mathbb{R} \).
- Überdeckung: Ihre Vereinigung ist das Intervall \( [0, 2] \), also gilt \( A \cup B = [0, 2] \).
- Übereinstimmung auf der Schnittmenge: Die Schnittmenge besteht aus dem Punkt \( \{1\} \). Wir überprüfen:
- \( f(1) = 1 \)
- \( g(1) = 2 - 1 = 1 \)
Damit gilt \( f(1) = g(1) = 1 \), und die Übereinstimmung auf \( A \cap B \) ist gewährleistet.
Alle Voraussetzungen des Lemmas sind damit erfüllt.
Wir definieren nun die Abbildung \( h : [0, 2] \to \mathbb{R} \) durch:
$$ h(x) = \begin{cases} f(x) = x & \text{falls } x \in [0, 1], \\ g(x) = 2 - x & \text{falls } x \in [1, 2]. \end{cases} $$
Die Stetigkeit von \( h \) ist unmittelbar einsichtig:
- auf \( [0, 1] \) stimmt \( h \) mit der stetigen Funktion \( f \) überein;
- auf \( [1, 2] \) stimmt \( h \) mit der stetigen Funktion \( g \) überein;
- am Punkt \( x = 1 \) liefern beide Funktionsvorschriften denselben Wert, sodass kein Sprung entsteht.
Damit ist \( h \) auf dem gesamten Intervall \( [0, 2] \) stetig.
Anschaulich besteht die Funktion \( h(x) \) aus zwei linearen Teilstücken:
- auf \( [0, 1] \) ist \( h(x) = x \), eine streng wachsende Gerade;
- auf \( [1, 2] \) ist \( h(x) = 2 - x \), eine streng fallende Gerade.
Beide Geraden treffen sich stetig im Punkt \( x = 1 \).
Beweis
Zum Beweis der Stetigkeit von \( h \) verwenden wir ein zentrales topologisches Kriterium: Das Urbild jeder abgeschlossenen Teilmenge von \( Y \) unter \( h \) ist eine abgeschlossene Teilmenge von \( X \).
Sei also \( C \subseteq Y \) eine abgeschlossene Menge. Dann muss auch \( h^{-1}(C) \) in \( X \) abgeschlossen sein.
Da \( h \) stückweise durch \( f \) auf \( A \) und durch \( g \) auf \( B \) definiert ist, gilt:
$$ h^{-1}(C) = f^{-1}(C) \cup g^{-1}(C). $$
Dabei ist:
- \( f^{-1}(C) \) abgeschlossen in \( A \), da \( f \) stetig ist;
- \( g^{-1}(C) \) abgeschlossen in \( B \), da \( g \) stetig ist.
Da \( A \) und \( B \) abgeschlossene Teilmengen von \( X \) sind, sind diese relativ abgeschlossenen Mengen auch in \( X \) abgeschlossen.
Somit ist \( h^{-1}(C) \) als Vereinigung zweier abgeschlossener Teilmengen von \( X \) selbst abgeschlossen in \( X \).
Daraus folgt, dass \( h \) auf ganz \( X \) stetig ist. Damit ist das Verklebungslemma bewiesen.
Und so weiter.
