Borde vacío y conjuntos clopen

El borde \(\partial A\) de un conjunto \(A\) es vacío si, y solo si, \(A\) es simultáneamente abierto y cerrado (clopen): $$ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ es clopen} $$

Esto equivale a decir que \(A\) no posee puntos de borde, es decir, puntos que pertenezcan tanto a la clausura de \(A\) como a la de su complemento.

Ejemplo práctico

Ejemplo 1

Consideremos el conjunto \( A = \emptyset \) en el espacio topológico \(\mathbb{R}\) con la topología usual.

Comprobemos si su borde \(\partial A\) es vacío.

La clausura de \(A = \emptyset\) es:

$$ \text{Cl}(A) = \emptyset $$

El complemento es \(A^c = \mathbb{R}\), cuya clausura coincide con \(\mathbb{R}\), ya que es un conjunto cerrado:

$$ \text{Cl}(A^c) = \mathbb{R} $$

Por tanto, el borde de \(A\) es:

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = \emptyset \cap \mathbb{R} = \emptyset $$

En este caso, el borde es vacío, por lo que \(A\) es clopen. En efecto, \(A = \emptyset\) es abierto por definición y también cerrado, pues contiene todos sus puntos de adherencia (al no tener ninguno).

Ejemplo 2

Tomemos ahora el conjunto \( A = \mathbb{R} \), también en la topología usual.

Su clausura es:

$$ \text{Cl}(A) = \mathbb{R} $$

El complemento es \(A^c = \emptyset\), cuya clausura también es el conjunto vacío:

$$ \text{Cl}(A^c) = \emptyset $$

De modo que:

$$ \partial A = \mathbb{R} \cap \emptyset = \emptyset $$

Concluimos nuevamente que \(A\) es clopen: es abierto por definición y cerrado, ya que contiene todos sus puntos límite.

Ejemplo 3

Consideremos el conjunto \(A = [0,1)\) en \(\mathbb{R}\) con la topología usual.

La clausura de \(A\) es \([0,1]\), mientras que el complemento es \(A^c = (-\infty, 0) \cup [1, \infty)\).

La clausura del complemento es:

$$ \text{Cl}(A^c) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

Entonces:

$$ \partial A = [0,1] \cap \left( (-\infty, 0] \cup [1, \infty) \right) = \{0, 1\} $$

En este caso, el borde no es vacío, por lo tanto \(A\) no es clopen. De hecho, \(A = [0,1)\) es abierto, pero no cerrado.

Estos ejemplos ilustran claramente que un conjunto tiene borde vacío si, y solo si, es a la vez abierto y cerrado, es decir, clopen.

Demostración

Recordemos que, por definición, el borde de un conjunto \(A\) se obtiene como:

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) $$

Demostraremos ahora que \( \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ es clopen} \) verificando ambas implicaciones.

1] Si el borde es vacío, entonces \(A\) es abierto y cerrado (clopen)

Supongamos que:

$$ \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = \emptyset $$

Esto significa que no existe ningún punto que pertenezca a ambas clausuras.

¿Es \(A\) cerrado?

Si \( \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = \emptyset \), entonces:

$$ \text{Cl}(A) \subseteq \left( \text{Cl}(A^c) \right)^c \subseteq (A^c)^c = A $$

Pero por definición, \( A \subseteq \text{Cl}(A) \), así que:

$$ \text{Cl}(A) = A $$

Por tanto, \(A\) es cerrado.

¿Es \(A\) abierto?

Del mismo modo, como \( \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = \emptyset \), se deduce que:

$$ \text{Cl}(A^c) \subseteq A^c $$

Esto implica que \(A^c\) es cerrado, y por lo tanto \(A\) es abierto.

Hemos demostrado que si el borde de \(A\) es vacío, entonces \(A\) es abierto y cerrado a la vez, es decir, clopen.

2] Si \(A\) es clopen, entonces su borde es vacío

Supongamos ahora que \(A\) es clopen.

Entonces:

$$ A = \text{Cl}(A), \quad A^c = \text{Cl}(A^c) $$

Por definición:

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = A \cap A^c $$

Y como la intersección de un conjunto con su complemento es siempre vacía:

$$ \partial A = \emptyset $$

3] Conclusión

Hemos demostrado rigurosamente que: $$ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ es clopen} $$

Q.E.D.