Topología del Rectángulo Abierto

La topología del rectángulo abierto es un marco fundamental en el plano $ \mathbb{R}^2 $, donde los conjuntos abiertos se caracterizan como cualquier unión de rectángulos abiertos. Cada uno de estos rectángulos se define como el producto cartesiano de dos intervalos abiertos en los ejes coordenados, proporcionando una estructura básica para el estudio de las relaciones espaciales en dos dimensiones.

Esta topología se construye a partir de una base compuesta exclusivamente por vecindades rectangulares abiertas, que funcionan como los bloques elementales a partir de los cuales se generan conjuntos más complejos.

En otras palabras, un subconjunto $ U \subseteq \mathbb{R}^2 $ se considera abierto si, para cada punto $ (x, y) $ que contiene, es posible encontrar un rectángulo abierto que no solo lo incluya, sino que esté completamente contenido dentro de $ U $.

Los rectángulos abiertos, por lo tanto, desempeñan un papel clave en la construcción de la topología del plano euclidiano.

$$ B= \{ (a, b) \times (c, d) | a< b, c<d \} $$

Donde $ a, b, c, d $ son números reales que cumplen $ a < b $ y $ c < d $, determinando así los límites de cada rectángulo.

Este enfoque proporciona una base alternativa para el espacio $ \mathbb{R}^2 $, en contraste con la topología usualmente definida a partir de bolas abiertas (discos).

Nota: Esto subraya la flexibilidad de las estructuras topológicas, mostrando que diferentes formas, ya sean círculos o rectángulos, pueden servir como base sin alterar la noción fundamental de conjunto abierto. Independientemente de la geometría utilizada, la colección de estos conjuntos abiertos constituye una base válida para la topología de $ \mathbb{R}^2 $.

Ejemplo de un Rectángulo Abierto

Un rectángulo abierto en el plano $ \mathbb{R}^2 $ es, en esencia, el producto cartesiano de dos intervalos abiertos, uno en cada eje.

Consideremos, por ejemplo, los intervalos abiertos $ (1, 3) $ en el eje $ x $ y $ (2, 4) $ en el eje $ y $.

un ejemplo de un rectángulo abierto

El rectángulo abierto generado por estos intervalos está formado por todos los puntos $ (x, y) $ tales que $ x $ se encuentra entre 1 y 3, y $ y $ entre 2 y 4.

Formalmente, este conjunto se expresa como $ (1, 3) \times (2, 4) $.

el punto (2,3)

Si tomamos un punto dentro de este conjunto, como $ (2, 3) $, podemos ver que su coordenada $ x $ es mayor que 1 pero menor que 3, mientras que su coordenada $ y $ es mayor que 2 pero menor que 4.

Nota: El borde del rectángulo no pertenece al conjunto, por lo que los puntos $ (1, y) $, $ (3, y) $, $ (x, 2) $ y $ (x, 4) $ quedan fuera de los límites del rectángulo abierto.