Topología del Límite Superior

En la topología del límite superior, un conjunto abierto se define como cualquier unión de intervalos semiabiertos por la derecha de la forma \( (a, b] \), donde \( a < b \).

Esto significa que, para que un intervalo sea considerado abierto en esta topología, debe contener su extremo superior pero excluir el inferior.

De manera formal, la base de esta topología está dada por:

$$ B = \{ (a,b] \subset \mathbb{R} \ | \ a<b \} $$

Esta construcción implica que cada conjunto abierto en esta topología se define por la inclusión de su cota superior dentro del conjunto.

Nota. Resulta interesante comparar esta topología con la del límite inferior, donde los conjuntos abiertos son de la forma \([a, b)\), es decir, incluyen la cota inferior pero excluyen la superior. Esta dualidad pone de manifiesto cómo la elección de una topología afecta la noción misma de apertura de un conjunto.

La topología del límite superior desempeña un papel fundamental en el análisis topológico, ilustrando cómo modificaciones en la definición de los conjuntos abiertos pueden dar lugar a propiedades y estructuras significativamente distintas.

Un Ejemplo Práctico

Consideremos el conjunto de los números reales \(\mathbb{R}\) con la topología generada por intervalos semiabiertos por la derecha.

Ejemplos de conjuntos abiertos en esta topología son \( (1,3] \), \( (2,6] \), \( (-3,5] \), entre otros.

El conjunto de todos estos intervalos semiabiertos constituye una base para la topología del límite superior.

En cada uno de estos intervalos, la cota superior está incluida, mientras que la inferior queda excluida.

Este tipo de topología es útil en diversos contextos matemáticos, ya que introduce una estructura que difiere de la topología euclidiana estándar y permite explorar propiedades alternativas de continuidad y convergencia.