Conjuntos densos en topología

En un espacio topológico $ X $, un subconjunto $ A $ se denomina denso si su clausura coincide con todo el espacio: $$ \text{Cl}(A) = X $$

En otras palabras, un conjunto denso "alcanza" todas las regiones del espacio: cada punto de $ X $ pertenece a $ A $ o bien es punto de acumulación de $ A $.

La clausura de un conjunto incluye tanto sus puntos como todos sus puntos límite.

Ejemplos prácticos

Ejemplo 1

En la topología usual sobre $ \mathbb{R} $, el conjunto de los números racionales $ \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} $ es denso.

Esto se debe a que entre cualesquiera dos números reales siempre existe un número racional. Por tanto, cualquier número real puede aproximarse arbitrariamente por números racionales.

En este caso, la clausura de $ \mathbb{Q} $ abarca toda la recta real:

$$ \text{Cl}(\mathbb{Q}) = \mathbb{R} $$

De este modo, $ \mathbb{Q} $ cumple con la condición de ser un conjunto denso.

Nota. De forma análoga, en la topología usual sobre $ \mathbb{R} $, el conjunto de los números irracionales $ \mathbb{I} \subset \mathbb{R} $ también es denso, ya que cualquier número real puede ser aproximado por números irracionales. En consecuencia, la clausura de $ \mathbb{I} $ también coincide con $ \mathbb{R} $: $$ \text{Cl}(\mathbb{I}) = \mathbb{R} $$

Ejemplo 2

En la topología del complemento finito sobre $ \mathbb{R} $, el conjunto $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ también es denso.

En esta topología, un conjunto es abierto si su complemento en $ \mathbb{R} $ es finito.

Dado que el complemento de $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ es el conjunto finito $ \{0\} $, el conjunto $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ resulta abierto.

Para determinar su clausura, debemos considerar todos sus puntos de adherencia.

Como al añadir el punto 0 se obtiene nuevamente $ \mathbb{R} $, y no existe ningún conjunto cerrado distinto de $ \mathbb{R} $ que contenga a $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $, se deduce que:

$$ \text{Cl}(\mathbb{R} \setminus \{0\}) = \mathbb{R} $$

Por tanto, $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ es denso en $ \mathbb{R} $.

Nota. Este ejemplo ilustra una propiedad característica de la topología del complemento finito: todo subconjunto infinito es necesariamente denso. Dado que los únicos conjuntos cerrados son los finitos (y el conjunto total $ \mathbb{R} $), la clausura de cualquier subconjunto infinito debe ser todo el espacio.

Ejemplo 3

En la topología usual sobre $ \mathbb{R} $, el intervalo abierto $ (0,1) $ no es denso.

Su clausura es el intervalo cerrado $ [0,1] $, ya que los extremos 0 y 1 son puntos de acumulación del conjunto.

Como dicha clausura no cubre toda la recta real, se concluye que $ (0,1) $ no es denso en $ \mathbb{R} $.

Nota. No obstante, si se considera el intervalo $ (0,1) $ como subconjunto del espacio $ [0,1] $ con la topología subespacio, entonces sí resulta denso en $ [0,1] $, pues su clausura en dicho subespacio es precisamente $ [0,1] $. Este ejemplo pone de relieve que la noción de densidad depende del espacio topológico considerado: $ (0,1) $ no es denso en $ \mathbb{R} $, pero sí lo es en $ [0,1] $.

Y así sucesivamente.