Ejemplo de Topología

Quiero determinar todas las posibles topologías en el conjunto X.

$$ X = \{ a,b \} $$

Para ello, debo considerar todas las colecciones de subconjuntos de X que cumplan con la definición de topología.

Definición de Topología. Una topología sobre un conjunto X es una familia T de subconjuntos de X que satisface las siguientes condiciones:

• Contiene al conjunto vacío ∅ y al conjunto X.
• Es cerrada bajo uniones arbitrarias de sus elementos.
• Es cerrada bajo intersecciones finitas de sus elementos.

Para el conjunto \( X = \{a,b\} \), su conjunto potencia es:

$$ P(X) = \{ ∅, \{ a \}, \{ b \}, X \} $$

Como cualquier topología sobre X debe incluir necesariamente a ∅ y a X, estos conjuntos estarán presentes en todas las opciones posibles.

A continuación, enumero todas las colecciones de subconjuntos que cumplen con las condiciones para ser una topología:

1. La topología trivial (o mínima), que contiene solo los elementos indispensables: $$ T_1=\{ ∅, \{a,b \} \} $$
2. La topología que, además de los conjuntos de la trivial, incluye el subconjunto {a}: $$ T_2=\{ ∅, \{ a \} , \{a,b \} \} $$
3. La topología que, además de los conjuntos de la trivial, incluye el subconjunto {b}: $$ T_3=\{ ∅, \{ b \} , \{a,b \} \} $$
4. La topología discreta (o máxima), que contiene todos los subconjuntos posibles de X: $$ T_4=\{ ∅, \{ a \} , \{ b \} , \{a,b \} \} $$

Estas son todas las topologías posibles en X.

La topología trivial es la menos rica en estructura, pues solo distingue entre el conjunto vacío y el total. En contraste, la topología discreta es la más fina, ya que considera abiertos a todos los subconjuntos.

En total, el conjunto \( X = \{a,b\} \) admite exactamente cuatro topologías distintas.

Ejemplo 2

Ahora consideremos el caso de un conjunto con tres elementos:

$$ X = \{ a,b,c \} $$

Queremos verificar si la siguiente colección de subconjuntos constituye una topología en X:

$$ T_3=\{ ∅, \{ a \} , \{ b \} , \{b,c \}, \{a,b,c \} \} $$

Primero, comprobamos si incluye tanto el conjunto vacío como el conjunto total \( X = \{a,b,c\} \).

Ambos están presentes, por lo que la primera condición se cumple.

A continuación, verificamos la estabilidad por uniones arbitrarias.

Observamos que la unión \( \{ a \} \cup \{ b \} = \{ a,b \} \) no pertenece a \( T_3 \), lo que contradice la definición de topología.

$$ \{ a \} \cup \{ b \} = \{a , b\} \notin T $$

Este hecho por sí solo es suficiente para descartar que \( T_3 \) sea una topología en \( X \).

Dado que ya se ha violado una de las condiciones fundamentales, no es necesario comprobar la estabilidad por intersección.

Y así sucesivamente.