Topología del Límite Inferior

En la topología del límite inferior, un conjunto abierto se define como cualquier unión de intervalos semiabiertos de la forma [a, b), donde a < b.

En otras palabras, un intervalo es abierto en esta topología si contiene su extremo inferior pero excluye el superior.

La base de esta topología está formada por los siguientes conjuntos:

$$ B = \{ [a,b) ⊂ R \ | \ a<b \} $$

Cada elemento de esta base es un intervalo que incluye su extremo izquierdo pero deja fuera el derecho.

Nota: Esta topología es una alternativa a la topología estándar en los números reales (R), en la que los intervalos abiertos son de la forma (a, b) y excluyen ambos extremos.

La topología del límite inferior es un ejemplo clásico en los cursos de topología, ya que permite ilustrar cómo la elección de una topología modifica la noción de conjunto abierto.

En esta estructura, los intervalos [a, b), que incluyen el extremo izquierdo pero no el derecho, se consideran abiertos.

Un Ejemplo Práctico

Un caso concreto de la topología del límite inferior se obtiene al considerar los números reales R dotados de la colección de intervalos semiabiertos [a, b) como conjuntos abiertos.

Por ejemplo, conjuntos como [0,2), [1,4), [-4,2), entre otros.

El conjunto de todos estos intervalos semiabiertos por la izquierda constituye la base de la topología del límite inferior.

Y así sucesivamente.