Topología del Punto Excluido

La topología del punto excluido en un conjunto $X$ es una estructura topológica $T$ definida a partir de la exclusión de un único punto $p$ de $X$.

Los subconjuntos de $X$ que conforman esta topología son:

El conjunto vacío ($Ø$)
El conjunto $X$ en su totalidad
Todos los subconjuntos de $X$ que no contengan el punto $p$

En otras palabras, un conjunto es abierto en la topología del punto excluido si y solo si es el conjunto completo $X$, el conjunto vacío, o cualquier subconjunto de $X$ que no contenga el punto $p$.

Esta definición da lugar a una topología, ya que satisface los tres axiomas fundamentales para ser una topología en un espacio.

Nota. Lo que hace especial a esta topología es su construcción en torno a la exclusión de un punto particular, lo que puede dar lugar a propiedades topológicas interesantes e incluso contraintuitivas.

Un ejemplo concreto

Consideremos el conjunto $X$ formado por tres elementos:

$$ X = \{a, b, c\} $$

Elegimos $p = a$ como el punto a excluir.

Para construir la topología del punto excluido en $X$, debemos considerar los siguientes conjuntos:

El conjunto vacío ($Ø$)
El conjunto total $X = \{a, b, c\}$
Todos los subconjuntos de $X$ que no contengan el punto $a$, que en este caso son $ \{b\}, \{c\} $ y $ \{b,c\} $.

Así, la topología del punto excluido en $X$ queda definida por:

$$ T = \{\emptyset, \{a, b, c\}, \{b\}, \{c\}, \{b, c\}\} $$

Veamos por qué $T$ cumple con las propiedades de una topología:

Es cerrada bajo uniones arbitrarias:
Por ejemplo, $\{b\} \cup \{c\} = \{b, c\}$ y $\{b\} \cup \emptyset = \{b\}$, ambos pertenecen a $T$.
Es cerrada bajo intersecciones finitas:
Por ejemplo, $\{b\} \cap \{c\} = \emptyset$ y $\{b, c\} \cap \{b\} = \{b\}$, ambos pertenecen a $T$.
Contiene el conjunto vacío $\emptyset$ y el conjunto total $X$.

Este ejemplo ilustra cómo, al excluir un punto específico (en este caso, $a$), se obtiene una estructura topológica que impone una restricción particular sobre la noción de apertura en $X$.