Diferencia entre una topología más fina y una más gruesa

Los términos "topología más fina" y "topología más gruesa" se utilizan para comparar distintas topologías definidas sobre un mismo conjunto \( X \).

• Topología más fina
  Una topología \( \tau \) en \( X \) se dice más fina que otra si contiene más conjuntos abiertos que esta última.
• Topología más gruesa
  Por el contrario, una topología más gruesa tiene menos conjuntos abiertos en comparación con otra definida sobre el mismo conjunto \( X \). Se trata, en cierto sentido, de una topología más "rígida" o menos detallada.

Un ejemplo ilustrativo

Consideremos el conjunto \( X = \{a, b\} \) y definamos dos topologías distintas sobre él:

• La primera topología, \( \tau_1 \), es \( \{\varnothing, \{a, b\}\} \), que es la topología trivial. En este caso, los únicos conjuntos abiertos son el vacío y el total.
• La segunda topología, \( \tau_2 \), es \( \{\varnothing, \{a\}, \{a, b\}\} \).

Observamos que \( \tau_2 \) es más fina que \( \tau_1 \) porque contiene el conjunto abierto \( \{a\} \), que no pertenece a \( \tau_1 \).

Por otro lado, la topología \( \tau_1 \) es más gruesa que \( \tau_2 \), ya que tiene menos conjuntos abiertos.

Relación con la continuidad

Si una función es continua con respecto a una topología más gruesa, entonces también lo será con respecto a cualquier topología más fina. Sin embargo, lo contrario no siempre es cierto.

Para comprobar la continuidad de una función, se verifica que la preimagen de cualquier conjunto abierto en la imagen sea un conjunto abierto en el dominio.

Si la topología es más fina, hay más conjuntos abiertos que considerar, lo que hace que la verificación de continuidad sea más exigente.

En cambio, en una topología más gruesa, la condición de continuidad es más fácil de satisfacer, ya que hay menos conjuntos abiertos que revisar.

En términos más precisos, si una función es continua respecto a una topología más gruesa, también lo será respecto a cualquier refinamiento de esta, puesto que la condición de continuidad ya se cumple para un conjunto más pequeño de abiertos.

Lo contrario no siempre se cumple. Una función que es continua en una topología más fina puede no serlo en una más gruesa, ya que en esta última hay menos abiertos y podría fallar la condición de continuidad en algunas preimágenes.

Ejemplo

Volvamos a considerar el conjunto \( X = \{a, b\} \) equipado con dos topologías distintas.

1. Topología más gruesa: \( \tau_1 = \{\varnothing, \{a, b\}\} \), donde los únicos conjuntos abiertos son el vacío y el conjunto total \( X \).
2. Topología más fina: \( \tau_2 = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\} \), que además incluye los subconjuntos unitarios \( \{a\} \) y \( \{b\} \) como abiertos.

Examinemos ahora la continuidad de una función \( f \) de \( X \) en un conjunto arbitrario \( Y \).

$$ f: X \to Y $$

Definimos \( f \) de la siguiente manera:

$$ f(a)=1 $$

$$ f(b)=1 $$

Esta función asigna el mismo valor a ambos elementos de \( X \), por lo que es una función constante.

Comprobemos su continuidad en la topología más fina \( \tau_2 \).

• La preimagen de \( f^{-1}(\{1\}) \) es \( \{a, b\} \), que es un conjunto abierto en \( X \) bajo \( \tau_2 \). Por lo tanto, la condición de continuidad se cumple.
• La preimagen del conjunto vacío, \( f^{-1}(\varnothing) = \varnothing \), es abierta en cualquier topología por definición.

Así, \( f \) es continua en la topología más fina \( \tau_2 \).

Dado que \( f \) es continua en \( \tau_2 \), también lo será en \( \tau_1 \), ya que \( \tau_1 \) tiene menos abiertos y la verificación de continuidad es aún más sencilla.

En efecto, en \( \tau_1 \) solo hay dos conjuntos abiertos:

• La preimagen \( f^{-1}(\{1\}) = \{a, b\} \) es abierta en \( \tau_1 \).
• La preimagen \( f^{-1}(\varnothing) = \varnothing \) también es abierta en \( \tau_1 \).

Por lo tanto, \( f \) es continua en la topología más gruesa \( \tau_1 \).

Ejemplo 2

Consideremos nuevamente el conjunto \( X = \{a, b\} \) con las mismas topologías \( \tau_1 \) y \( \tau_2 \).

1. Topología más gruesa: \( \tau_1 = \{\varnothing, \{a, b\}\} \).
2. Topología más fina: \( \tau_2 = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\} \).

Definimos ahora una nueva función \( g : X \to Y \):

$$ g(a) = 1 $$

$$ g(b) = 2 $$

Analicemos su continuidad en la topología más fina \( \tau_2 \).

• La preimagen \( g^{-1}(\varnothing) = \varnothing \) es abierta en \( \tau_2 \).
• La preimagen \( g^{-1}(\{1,2\}) = \{a, b\} \) es abierta en \( \tau_2 \).
• La preimagen \( g^{-1}(\{1\}) = \{a\} \) es abierta en \( \tau_2 \).
• La preimagen \( g^{-1}(\{2\}) = \{b\} \) es abierta en \( \tau_2 \).

Puesto que todas las preimágenes de conjuntos abiertos en \( Y \) son abiertas en \( X \), \( g \) es continua en la topología más fina \( \tau_2 \).

Ahora verificamos su continuidad en la topología más gruesa \( \tau_1 \):

• La preimagen \( g^{-1}(\varnothing) = \varnothing \) es abierta en \( \tau_1 \).
• La preimagen \( g^{-1}(\{1,2\}) = \{a, b\} \) es abierta en \( \tau_1 \).
• Sin embargo, la preimagen \( g^{-1}(\{1\}) = \{a\} \), no es un conjunto abierto en \( \tau_1 \), ya que en esta topología los únicos conjuntos abiertos son \( \varnothing \) y \( \{a, b\} \).

Esto demuestra que \( g \) no es continua en la topología más gruesa \( \tau_1 \).

En conclusión, la función \( g \) es continua en la topología más fina \( \tau_2 \), pero no lo es en la topología más gruesa \( \tau_1 \).