Topología del Punto Particular
La topología del punto particular en un conjunto \( X \) con un punto distinguido \( p \) se define como la familia de todos los subconjuntos de \( X \) que sean vacíos o que contengan a \( p \).
En consecuencia, esta topología incluye el conjunto vacío, el conjunto total \( X \) y cualquier subconjunto que contenga a \( p \).
También es conocida como la "topología del punto fijo".
Nota. Para ser una topología, esta colección de conjuntos debe satisfacer los axiomas básicos: contener el conjunto vacío y el total, además de ser cerrada bajo la unión arbitraria y la intersección finita de sus elementos.
Ejemplo
Consideremos el conjunto \( X = \{a, b, c\} \) con el punto distinguido \( a \). La topología del punto particular en \( X \) debe contener:
- El conjunto vacío: \( \emptyset \).
- El conjunto total: \( X = \{a, b, c\} \).
- Todos los subconjuntos de \( X \) que incluyen a \( a \): \( \{a\}, \{a, b\}, \{a, c\} \).
Por lo tanto, la topología generada por el punto \( a \) en \( X \) es:
$$ T = \{ \emptyset, \{a\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{a, b, c\} \} $$
Esta familia de conjuntos cumple con las propiedades topológicas fundamentales:
- Incluye el conjunto vacío y el conjunto total.
- Es cerrada bajo uniones arbitrarias: dado que cada conjunto en \( T \) contiene a \( a \) (salvo el vacío), la unión de cualquier colección de ellos también contendrá a \( a \), garantizando que el resultado pertenezca a \( T \).
- Es cerrada bajo intersecciones finitas: la intersección de cualquier número finito de conjuntos de \( T \), salvo cuando interviene \( \emptyset \), sigue conteniendo a \( a \), por lo que el resultado sigue estando en \( T \).
Así, esta construcción define una topología válida en \( X \).
