Incrustaciones en topología

En topología, una incrustación es una función continua e inyectiva \( f: X \rightarrow Y \) entre dos espacios topológicos \( X \) y \( Y \), tal que \( f \) induce un homeomorfismo entre \( X \) y su imagen \( f(X) \), dotada de la topología subespacio inducida desde \( Y \).

Esto implica que una incrustación cumple tres condiciones fundamentales:

1. La función \( f \) es continua.
2. La función \( f \) es inyectiva; es decir, asigna puntos distintos de \( X \) a puntos distintos de \( Y \).
3. La inversa de \( f \), considerada como una aplicación de \( f(X) \) en \( X \), es continua respecto a la topología subespacio en \( f(X) \).

Dicho de otro modo, una incrustación conserva la estructura topológica de \( X \) dentro de su imagen \( f(X) \) en \( Y \), lo que permite considerar \( f(X) \) como un subespacio topológico de \( Y \), es decir, \( f(X) \subset Y \).

Un ejemplo práctico

Consideremos dos espacios topológicos:

• Espacio \( X \)
  El conjunto \( X = \{a, b, c\} \) con la topología \( \mathcal{T}_X = \{\emptyset, \{a\}, \{a, b\}, X\} \), que define los abiertos de \( X \).
• Espacio \( Y \)
  El conjunto \( Y = \{1, 2, 3, 4\} \) con la topología \( \mathcal{T}_Y = \{\emptyset, \{1\}, \{1, 2\}, \{1, 2, 3\}, Y\} \), que define los abiertos de \( Y \).

Definimos ahora la función \( f: X \rightarrow Y \) de la siguiente forma:

$$ f(a) = 1 \\ f(b) = 2 \\ f(c) = 3 $$

Verifiquemos si \( f \) cumple las condiciones para ser una incrustación.

1] Continuidad de \( f \)

Una función \( f: X \rightarrow Y \) es continua (véase la definición mediante conjuntos abiertos) si la preimagen de cada abierto de \( Y \) es un abierto en \( X \), es decir, pertenece a \( \mathcal{T}_X \).

• \( f^{-1}(\emptyset) = \emptyset \in \mathcal{T}_X \), abierto en \( X \).
• \( f^{-1}(\{1\}) = \{a\} \in \mathcal{T}_X \), abierto en \( X \).
• \( f^{-1}(\{1, 2\}) = \{a, b\} \in \mathcal{T}_X \), abierto en \( X \).
• \( f^{-1}(\{1, 2, 3\}) = X \in \mathcal{T}_X \), abierto en \( X \).
• \( f^{-1}(Y) = X \in \mathcal{T}_X \), abierto en \( X \).

Puesto que todas las preimágenes de abiertos de \( Y \) son abiertos en \( X \), concluimos que \( f \) es continua.

2] Inyectividad

La función \( f \) es claramente inyectiva, ya que asigna a cada elemento de \( X \) una imagen distinta en \( Y \):

$$ f(a) = 1 \\ f(b) = 2 \\ f(c) = 3 $$

3] Continuidad de la inversa

Consideremos ahora la imagen de \( f \), que es \( f(X) = \{1, 2, 3\} \subset Y \).

La topología subespacio en \( f(X) \) está dada por \( \mathcal{T}_{f(X)} = \{\emptyset, \{1\}, \{1, 2\}, \{1, 2, 3\}\} \).

Para demostrar que la inversa \( f^{-1}: f(X) \rightarrow X \) es continua, basta comprobar que la preimagen de cada abierto en \( \mathcal{T}_X \) es un abierto en \( \mathcal{T}_{f(X)} \):

• \( \emptyset \) es abierto en \( \mathcal{T}_X \), y su preimagen es \( \emptyset \), que está en \( \mathcal{T}_{f(X)} \).
• \( \{a\} \) es abierto en \( \mathcal{T}_X \), y su preimagen es \( \{1\} \), abierto en \( \mathcal{T}_{f(X)} \).
• \( \{a, b\} \) es abierto en \( \mathcal{T}_X \), y su preimagen es \( \{1, 2\} \), abierto en \( \mathcal{T}_{f(X)} \).
• \( X \) es abierto en \( \mathcal{T}_X \), y su preimagen es \( \{1, 2, 3\} \), abierto en \( \mathcal{T}_{f(X)} \).

Así, la inversa \( f^{-1} \), restringida a la imagen, es continua.

En conclusión, la función \( f \) es una incrustación de \( X \) en \( f(X) \) porque es continua, inyectiva y su inversa (en la imagen) también es continua.

Aunque la imagen de \( X \) mediante \( f \), es decir \( \{1, 2, 3\} \), no coincida con todo \( Y \), sí conserva la estructura topológica de \( X \) dentro de su imagen.

Diferencias entre una incrustación y un homeomorfismo

La diferencia entre una incrustación y un homeomorfismo radica en el dominio, en la imagen y en el modo en que se preserva la estructura topológica.

• Homeomorfismo
  Un homeomorfismo es una función biyectiva entre \( X \) y \( Y \), que preserva íntegramente la estructura topológica de ambos espacios.
• Incrustación
  Una incrustación es una función que introduce \( X \) en \( Y \) de modo que su estructura topológica se mantiene, pero únicamente dentro de su imagen \( f(X) \), que constituye un subespacio de \( Y \).

En otras palabras, un homeomorfismo establece una correspondencia topológica completa entre dos espacios, mientras que una incrustación asegura que \( X \) se preserve topológicamente como parte de \( Y \): \( X \subset Y \).

Y así sucesivamente...