Cierre del Complemento y Complemento del Interior de un Conjunto
El cierre del complemento de un conjunto \( A \) es igual al complemento del interior de \( A \): $$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$
Esta relación refleja una interesante dualidad entre los conceptos de cierre e interior en el contexto de los complementos de conjuntos dentro de un espacio topológico.
Un Ejemplo Práctico
Consideremos el espacio topológico \( X = \mathbb{R} \) con la topología usual, donde los conjuntos abiertos son uniones de intervalos abiertos.
Tomemos como ejemplo el conjunto \( A \subseteq X = \mathbb{R} \) definido como el intervalo cerrado \( A = [1,2] \).
Para verificar la igualdad mencionada, abordaremos el problema en dos pasos: primero calcularemos el cierre del complemento de \( A \), y luego el complemento del interior de \( A \).
1] Cierre del Complemento de \( A \)
El complemento de \( A \) en \( \mathbb{R} \) es: $$ X - A = \mathbb{R} - [1,2] = (-\infty, 1) \cup (2, \infty) $$
Para hallar su cierre, añadimos los puntos de acumulación de \( (-\infty, 1) \cup (2, \infty) \).
Observemos que el complemento de \( A \) es una unión de conjuntos abiertos y que los puntos \( 1 \) y \( 2 \) son de acumulación, pues todo entorno de \( 1 \) contiene puntos de \( (-\infty,1) \) y todo entorno de \( 2 \) contiene puntos de \( (2, \infty) \).
Por lo tanto, el cierre del complemento de \( A \) es:
$$ \text{Cl}(X - A) = \text{Cl}((-\infty, 1) \cup (2, \infty)) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
2] Complemento del Interior de \( A \)
El interior de \( A = [1,2] \) es el mayor conjunto abierto contenido en \( A \), es decir: $$ \text{Int}(A) = (1,2) $$
El complemento del interior de \( A \) es:
$$ X - \text{Int}(A) = \mathbb{R} - (1,2) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
3] Conclusión
Hemos obtenido el mismo resultado en ambos casos:
$$ \text{Cl}(X - A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
$$ X - \text{Int}(A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
Por lo tanto, se verifica la igualdad:
$$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$
Demostración
Sea \( A \subseteq X \) un conjunto en el espacio topológico \( X \).
El cierre del complemento de \( A \) está formado por todos los puntos en el complemento de \( A \), junto con sus puntos de acumulación:
$$ \text{Cl}(X - A) $$
Por otro lado, el complemento del interior de \( A \) está compuesto por todos los puntos que no pertenecen al interior de \( A \):
$$ X - \text{Int}(A) $$
Para demostrar que \(\text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A)\), basta probar ambas inclusiones:
- \( \text{Cl}(X - A) \subseteq X - \text{Int}(A) \)
Si un punto \( x \) pertenece a \( \text{Cl}(X - A) \), entonces cualquier entorno de \( x \) contiene al menos un punto de \( X - A \). Esto implica que \( x \) no puede ser un punto interior de \( A \), ya que, si lo fuera, existiría un entorno de \( x \) completamente contenido en \( A \). Por lo tanto, \( x \notin \text{Int}(A) \), es decir, \( x \) pertenece a \( X - \text{Int}(A) \). - \( X - \text{Int}(A) \subseteq \text{Cl}(X - A) \)
Si un punto \( x \) pertenece a \( X - \text{Int}(A) \), entonces \( x \) no es un punto interior de \( A \). Esto significa que cualquier entorno de \( x \) contiene al menos un punto que no está en \( A \), es decir, un punto de \( X - A \). Por lo tanto, \( x \) pertenece al cierre de \( X - A \), es decir, \( x \in \text{Cl}(X - A) \).
Puesto que ambas inclusiones han sido demostradas, concluimos que:
$$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$
Esta relación pone de manifiesto la dualidad entre los conceptos de cierre e interior en el contexto de los complementos de conjuntos.
Y con esto, queda demostrado.
