Continuidad de la función de inclusión en topología
Sea \( X \) un espacio topológico y \( Y \) un subconjunto de \( X \). La función de inclusión \( f : Y \to X \) se define mediante \( f(y) = y \) para todo \( y \in Y \). Esta función es continua.
La función de inclusión asocia cada elemento de un subconjunto \( Y \) con su correspondiente en el espacio mayor \( X \) que lo contiene.
En otras palabras, la función de inclusión \( f \) asigna a cada elemento de \( Y \) el mismo elemento considerado ahora como perteneciente a \( X \).
Desde el punto de vista topológico, esta función es continua.
Nota: La función de inclusión no debe confundirse con la función identidad. Aunque ambas comparten la misma regla de asignación, la inclusión se define entre espacios distintos (de un subconjunto al espacio total), mientras que la identidad actúa dentro de un mismo espacio.
¿Por qué es continua?
En topología, una función es continua si la preimagen de cualquier conjunto abierto es un conjunto abierto. Es decir, para todo abierto \( U \) en \( X \), el conjunto \( f^{-1}(U) \) debe ser abierto en \( Y \).
Según la definición de la topología subespacial, los conjuntos abiertos de \( Y \) son precisamente las intersecciones de conjuntos abiertos de \( X \) con \( Y \).
$$ f^{-1}(U) = U \cap Y $$
Como \( f^{-1}(U) = U \cap Y \) es abierto en \( Y \) siempre que \( U \) lo sea en \( X \), se concluye que \( f \) es continua por definición.
Nota: Esta observación pone de manifiesto que la topología subespacial sobre \( Y \) está específicamente diseñada para garantizar la continuidad de la función de inclusión.
Un ejemplo práctico
Consideremos el espacio topológico \( X = \mathbb{R} \) (la recta real) y su subconjunto \( Y = (0, 1) \), el intervalo abierto entre 0 y 1.
La función de inclusión \( f : Y \to X \) se define como \( f(y) = y \) para todo \( y \in Y \).
$$ f(y) = y \quad \text{para todo} \quad y \in (0,1) $$
En términos intuitivos, esto significa que la función \( f \) "inserta" los puntos de \( Y \) (los números del intervalo \( (0, 1) \)) dentro del espacio mayor \( X = \mathbb{R} \).
En la topología subespacial, para cualquier conjunto abierto \( U \) de \( X \), el conjunto \( U \cap Y \) es abierto en \( Y \).
Por ejemplo, consideremos el intervalo abierto \( U = (-1, 0.5) \subset \mathbb{R} \) en la topología estándar de \( X \).
La intersección de este abierto con \( Y = (0, 1) \) es:
$$ U \cap Y = (-1, 0.5) \cap (0, 1) = (0, 0.5) $$
Obtenemos así un intervalo abierto dentro de \( Y \).
Por tanto, \( U \cap Y = (0, 0.5) \) es abierto en la topología subespacial de \( Y \).
Como para todo conjunto abierto \( U \) en \( X \) la intersección \( U \cap Y \) es abierta en \( Y \), deducimos que la función de inclusión \( f : Y \to X \) es continua.
Y así sucesivamente.
