Continuidad definida mediante conjuntos cerrados

Sean dos espacios topológicos \( X \) y \( Y \). Una función \( f: X \to Y \) es continua si, y solo si, la preimagen de todo conjunto cerrado \( C \subseteq Y \) es un conjunto cerrado en \( X \).

Este teorema proporciona una caracterización alternativa de la continuidad para funciones entre espacios topológicos.

Tradicionalmente, se dice que una función es continua si la preimagen de cualquier conjunto abierto de \( Y \) es un conjunto abierto en \( X \).

No obstante, este resultado demuestra que también se puede definir la continuidad en términos de conjuntos cerrados: una función \( f: X \to Y \) es continua si, para todo conjunto cerrado \( C \subseteq Y \), la preimagen \( f^{-1}(C) \) es cerrada en \( X \).

Nota: Esto pone de manifiesto la dualidad entre abiertos y cerrados en la definición de continuidad, ya que todo conjunto cerrado es el complemento de un conjunto abierto, y viceversa.

Un ejemplo práctico

Consideremos la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) dada por \( f(x) = x^2 \), equipada con la topología usual, en la que los conjuntos abiertos son intervalos abiertos y sus uniones.

$$ f(x) = x^2 $$

Queremos verificar que la preimagen de cualquier conjunto cerrado en \( Y \) es cerrada en \( X \).

Tomemos, por ejemplo, el conjunto cerrado \( C = [1, +\infty) \subseteq Y \), que es cerrado porque contiene su extremo inferior.

La preimagen de \( C \) bajo \( f \) es:

$$ f^{-1}(C) = \{ x \in \mathbb{R} : x^2 \in [1, +\infty) \} = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) $$

Este conjunto es cerrado en \( \mathbb{R} \), ya que la unión de dos conjuntos cerrados sigue siendo cerrada en la topología usual.

Dado que la preimagen de \( [1, +\infty) \), que es cerrado en \( Y \), es también cerrada en \( X \), se cumple la condición de continuidad.

Aplicando este mismo razonamiento a cualquier conjunto cerrado de \( Y \), se concluye que la función \( f(x) = x^2 \) es continua.

La demostración

La prueba se divide en dos partes: primero se demuestra que si \( f \) es continua, entonces la preimagen de todo cerrado es cerrada; luego se demuestra que si la preimagen de todo cerrado es cerrada, entonces \( f \) es continua.

1] (⇒) Si \( f \) es continua, entonces \( f^{-1}(C) \) es cerrada para todo conjunto cerrado \( C \subseteq Y \):

Como \( f \) es continua, por definición, la preimagen de cualquier conjunto abierto en \( Y \) es abierta en \( X \).

Sea \( C \subseteq Y \) un conjunto cerrado. Entonces su complemento \( Y \setminus C \) es un conjunto abierto en \( Y \).

Dado que \( f \) es continua, la preimagen \( f^{-1}(Y \setminus C) \) es abierta en \( X \).

Pero la preimagen de un complemento es el complemento de la preimagen, es decir, \( f^{-1}(Y \setminus C) = X \setminus f^{-1}(C) \).

Si \( X \setminus f^{-1}(C) \) es abierto, entonces \( f^{-1}(C) \) es cerrado en \( X \).

Así, se concluye que si \( f \) es continua, la preimagen de cualquier cerrado es cerrada.

2] (⇐) Si la preimagen de todo conjunto cerrado es cerrada, entonces \( f \) es continua:

Supongamos que para todo cerrado \( C \subseteq Y \), la preimagen \( f^{-1}(C) \) es cerrada en \( X \).

Sea ahora \( U \subseteq Y \) un conjunto abierto. Su complemento \( Y \setminus U \) es un conjunto cerrado en \( Y \).

Por hipótesis, \( f^{-1}(Y \setminus U) \) es cerrada en \( X \).

Dado que \( f^{-1}(Y \setminus U) = X \setminus f^{-1}(U) \), entonces \( f^{-1}(U) \) es abierta en \( X \).

Por tanto, \( f \) es continua.

3] Conclusión

Hemos demostrado ambas implicaciones. Por lo tanto, una función \( f: X \to Y \) es continua si, y solo si, la preimagen de todo conjunto cerrado \( C \subseteq Y \) es cerrada en \( X \).

Y con esto queda demostrado.