Continuidad en la topología cociente
En la topología cociente, una función suprayectiva \( f: X \to A \) es continua por construcción, ya que un conjunto \( V \subseteq A \) es abierto si, y solo si, su preimagen \( f^{-1}(V) \) es abierta en \( X \).
Sea \( X \) un espacio topológico y \( f: X \to A \) una función suprayectiva, donde \( A \) es un conjunto cualquiera, no necesariamente un subconjunto de \( X \).
La topología cociente sobre \( A \) se define precisamente para garantizar que \( f \) sea continua.
En efecto, en la topología cociente, un subconjunto \( V \subseteq A \) se declara abierto si, y solo si, su preimagen \( f^{-1}(V) \) es abierta en \( X \).
Así, la continuidad de \( f \) queda asegurada por la propia definición de la topología cociente.
Nota: Dado que la topología cociente se formula en términos de preimágenes de abiertos, la función \( f \) resulta continua automáticamente.
Un ejemplo práctico
Consideremos el espacio \( X = \{a, b, c\} \), compuesto por tres elementos.
Definimos una función suprayectiva \( f: X \to A \), donde \( A = \{1, 2\} \), de la siguiente manera:
- \( f(a) = f(b) = 1 \)
- \( f(c) = 2 \).
La función \( f \) agrupa los elementos \( a \) y \( b \) en el punto \( 1 \) de \( A \).
En la topología cociente, un conjunto \( V \subseteq A \) es abierto si su preimagen \( f^{-1}(V) \) es un abierto de \( X \).
Por ejemplo, si tomamos \( V = \{1\} \subseteq A \), su preimagen es \( f^{-1}(\{1\}) = \{a, b\} \). Si \( \{a, b\} \) es abierto en \( X \), entonces \( V \) es abierto en \( A \).
Los conjuntos abiertos en \( A \) son entonces: \( \emptyset \), \( \{1, 2\} \) y \( \{2\} \).
- \( f^{-1}(\emptyset) = \emptyset \), abierto en cualquier topología
- \( f^{-1}(\{1, 2\}) = \{a, b, c\} \), todo \( X \), abierto en \( X \)
- \( f^{-1}(\{1\}) = \{a, b\} \), abierto en \( X \)
- \( f^{-1}(\{2\}) = \{c\} \), abierto en \( X \)
Esto confirma que, en esencia, la topología cociente sobre \( A \) garantiza que la función \( f \) sea continua, ya que todo conjunto abierto en \( A \) tiene una preimagen abierta en \( X \).
En resumen, es la propia definición de la topología cociente sobre \( A \) la que asegura la continuidad de la función \( f \).
Y así sucesivamente.
