El borde como intersección de la clausura del conjunto y la clausura de su complemento
Si \( A \) es un subconjunto de un espacio topológico \( X \), el borde \( \partial A \) se define como el conjunto de puntos que pertenecen simultáneamente a la clausura de \( A \) y a la clausura de su complemento. $$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $$
En otras palabras, el borde de un conjunto \(A\) se obtiene como la intersección entre la clausura de \(A\) y la clausura de su complemento.
La intersección \(\text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A)\) identifica los puntos que se adhieren tanto a \( A \) como a su complemento. Son precisamente esos puntos los que se consideran en el límite entre ambos conjuntos, y por ello constituyen el borde de \( A \).
Ejemplo práctico
Consideremos el conjunto \( A = (0, 1) \), es decir, el intervalo abierto entre 0 y 1 en la recta real \(\mathbb{R}\).
La clausura de este conjunto incluye todos los puntos entre 0 y 1, extremos incluidos:
$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$
El complemento de \(A\) en \(\mathbb{R}\) es \( (-\infty, 0] \cup [1, \infty) \), cuya clausura es:
$$ \text{Cl}(\mathbb{R} \setminus A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
Por tanto, el borde de \( A \) es la intersección de ambas clausuras:
$$ \partial A = [0, 1] \cap ((-\infty, 0] \cup [1, \infty)) $$
$$ \partial A = \{0, 1\} $$
Concluimos entonces que el borde del intervalo \( (0, 1) \) está formado por los puntos \( 0 \) y \( 1 \), que son precisamente los puntos que delimitan el conjunto respecto al resto de la recta real.
Demostración
Por definición, el borde \(\partial A\) de un subconjunto \( A \subseteq X \) está compuesto por los puntos \( x \in X \) tales que todo entorno de \( x \) intersecta tanto \( A \) como su complemento \( X \setminus A \):
$$ \partial A = \{ x \in X \mid \forall U \in \mathcal{N}(x),\ U \cap A \neq \emptyset \ \text{y} \ U \cap (X \setminus A) \neq \emptyset \} $$
Donde \(\mathcal{N}(x)\) denota la familia de entornos de \(x\).
Antes de abordar la demostración formal, recordemos las definiciones de clausura:
- La clausura de \( A \), denotada \( \text{Cl}(A) \), es el conjunto de todos los puntos \( x \in X \) tales que todo entorno de \( x \) intersecta \( A \):
\[ \text{Cl}(A) = \{ x \in X \mid \forall U \in \mathcal{N}(x),\ U \cap A \neq \emptyset \} \] - De forma análoga, la clausura del complemento de \( A \) es:
\[ \text{Cl}(X \setminus A) = \{ x \in X \mid \forall U \in \mathcal{N}(x),\ U \cap (X \setminus A) \neq \emptyset \} \]
Dividimos la demostración en dos partes:
1] Demostración de que \( \partial A \subseteq \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \)
Sea \( x \in \partial A \). Por definición, todo entorno de \( x \) intersecta simultáneamente \( A \) y \( X \setminus A \). Entonces:
- \( x \in \text{Cl}(A) \), ya que sus entornos intersectan \( A \).
- \( x \in \text{Cl}(X \setminus A) \), porque también intersectan el complemento.
Por tanto, \( x \in \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \), lo que demuestra que:
$$ \partial A \subseteq \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $$
2] Demostración de que \( \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \subseteq \partial A \)
Sea ahora \( x \in \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \).
- Dado que \( x \in \text{Cl}(A) \), todo entorno de \( x \) intersecta \( A \).
- Y como \( x \in \text{Cl}(X \setminus A) \), también intersecta el complemento.
Por tanto, \( x \) cumple la condición para pertenecer al borde:
$$ x \in \partial A $$
Con lo cual se concluye que:
$$ \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \subseteq \partial A $$
3] Conclusión
Como ambas inclusiones han sido verificadas:
- $ \partial A \subseteq \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $
- $ \partial A \supseteq \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $
Se concluye que:
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $$
Y con esto queda demostrada la igualdad.
Y así continúa el desarrollo.
