El borde de un conjunto es siempre un conjunto cerrado
El borde de un conjunto es siempre cerrado, ya que se define como la intersección entre la clausura de \(A\) y la clausura de su complemento: $$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A) $$
En un espacio topológico \(X\), el borde de un conjunto \(A\), denotado por \(\partial A\), se define como la intersección entre la clausura de \(A\) y la clausura de su complemento: \(\partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A)\).
Dado que la intersección de conjuntos cerrados es, por construcción, un conjunto cerrado, se concluye que \(\partial A\) es siempre cerrado.
Ejemplo práctico
Consideremos el espacio topológico \(\mathbb{R}\) provisto de la topología usual, en la que los conjuntos abiertos son los intervalos abiertos.
Tomemos como ejemplo el conjunto \(A = (0, 1)\), es decir, el intervalo abierto entre 0 y 1.
La clausura de \(A\), denotada \(Cl(A)\), es el intervalo cerrado \([0, 1]\), que incluye todos los puntos de \(A\) junto con sus puntos límite (0 y 1).
El complemento de \(A\) en \(\mathbb{R}\) es el conjunto:
$$ \mathbb{R} - A = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
Dado que este conjunto ya es cerrado en \(\mathbb{R}\), su clausura coincide consigo mismo:
$$ Cl(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
Por lo tanto, el borde de \(A\) es la intersección entre estas dos clausuras:
$$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(\mathbb{R} - A) $$
$$ \partial A = [0, 1] \cap ((-\infty, 0] \cup [1, \infty)) = \{0, 1\} $$
Así, en este caso, el borde de \(A\) está formado por los puntos \(\{0, 1\}\), que constituyen un conjunto cerrado en \(\mathbb{R}\).
Demostración
La afirmación se fundamenta en propiedades estructurales básicas de la topología general.
En cualquier espacio topológico \(X\), la clausura de un conjunto \(A\), denotada \(\overline{A}\) o \(Cl(A)\), es por definición un conjunto cerrado: es el menor cerrado que contiene a \(A\).
El complemento de un conjunto \(A\) en \(X\) se denota \(X - A\); si \(A\) es cerrado, entonces su complemento es abierto, y viceversa.
El borde de un conjunto \(A\), denotado por \(\partial A\), se define como:
$$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A) $$
Una propiedad fundamental de los espacios topológicos es que la intersección arbitraria (o finita) de conjuntos cerrados es también cerrada.
A partir de estas observaciones, podemos establecer que \(\partial A\) es necesariamente cerrado en cualquier espacio topológico:
- \(Cl(A)\) es cerrado por definición.
- \(Cl(X - A)\) también es cerrado, ya que toda clausura lo es.
- La intersección de dos conjuntos cerrados, \(Cl(A) \cap Cl(X - A)\), es igualmente cerrada.
En consecuencia, el borde de cualquier conjunto \(A\), definido como la intersección de dos clausuras, es siempre un conjunto cerrado:
$$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A) $$
Y así concluye la demostración.
Y así sucesivamente.
