El borde es un subconjunto de A si y solo si A es cerrado

El borde \( \partial A \) del conjunto \( A \) es un subconjunto de \( A \) si, y solo si, \( A \) es cerrado. \[ \partial A \subseteq A \Leftrightarrow A \text{ es cerrado} \]

Ejemplo práctico

Ejemplo 1

Sea \( A \) el conjunto formado por un disco cerrado de radio 1, centrado en el origen del espacio euclidiano \(\mathbb{R}^2\).

$$ A = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 1 $$

En este caso, el borde de \( A \) es la circunferencia de radio 1:

$$ \partial A = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 1 $$

Dado que \( A \) incluye todos los puntos de su contorno, se cumple que:

$$ \partial A \subseteq A $$

Por tanto, \( A \) es un conjunto cerrado.

Ejemplo 2

Sea \( B \) el conjunto definido por un disco abierto de radio 1, también centrado en el origen:

$$ B = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 < 1 $$

El borde de \( B \) sigue siendo la misma circunferencia de radio 1:

$$ \partial B = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 1 $$

Sin embargo, como \( B \) es un conjunto abierto, no contiene los puntos de su borde. Por consiguiente:

$$ \partial B \nsubseteq B $$

Esto nos indica que \( B \) no es cerrado.

Estos ejemplos muestran claramente que un conjunto cerrado contiene su borde, mientras que un conjunto abierto no lo hace.

Demostración

Dividiremos la demostración en dos partes:

1] Si el borde de A está contenido en A, entonces A es cerrado

Supongamos que \( \partial A \subseteq A \); es decir, todos los puntos del borde de \( A \) pertenecen también a \( A \).

Queremos demostrar que \( A \) es cerrado.

Recordemos que el borde de \( A \) se define como \( \partial A = \overline{A} \cap \overline{A^c} \), donde \( \overline{A} \) es la clausura de \( A \) y \( \overline{A^c} \) la clausura del complemento de \( A \).

Si \( \partial A \subseteq A \), entonces todos los puntos que están simultáneamente "cerca" de \( A \) y de \( A^c \), es decir, los puntos del borde, están dentro de \( A \).

Ahora bien, por definición, un conjunto es cerrado si contiene todos sus puntos de acumulación, y los puntos del borde son precisamente puntos de acumulación tanto de \( A \) como de su complemento.

Por tanto, si el borde está contenido en \( A \), esto implica que \( A \) contiene todos sus puntos de acumulación, lo cual significa que \( A \) es cerrado.

2] Si A es cerrado, entonces su borde está contenido en A

Supongamos ahora que \( A \) es cerrado. Queremos probar que \( \partial A \subseteq A \).

Si \( A \) es cerrado, entonces coincide con su clausura: $ \text{Cl}(A) $.

El borde de \( A \) es la intersección entre la clausura de \( A \) y la clausura de su complemento \( A^c \):

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) $$

Pero como \( A = \text{Cl}(A) \), se tiene que:

$$ \partial A = A \cap \text{Cl}(A^c) $$

Esto significa que el borde está formado por aquellos puntos que están tanto en \( A \) como en la clausura de su complemento. Dichos puntos son, precisamente, los del borde.

En consecuencia, si \( A \) es cerrado, entonces \( \partial A \subseteq A \).

3] Conclusión

Hemos demostrado que \( \partial A \subseteq A \) si, y solo si, \( A \) es un conjunto cerrado.

Y así sucesivamente.