Equivalencia entre un conjunto abierto y su interior
Un conjunto \( A \) en un espacio topológico \( X \) es abierto si, y solo si, coincide con su interior. $$ A = \text{Int}(A) $$
En otras palabras, \( A \) es abierto si todo punto de \( A \) posee un entorno abierto completamente contenido en \( A \).
Así pues, \( A \) es abierto si, y solo si, \( A = \text{Int}(A) \); es decir, si contiene todos los subconjuntos abiertos que puede llegar a contener.
El interior de un conjunto, Int(A), es el mayor conjunto abierto contenido en \( A \), formado por la unión de todos los conjuntos abiertos incluidos en \( A \).
Un ejemplo práctico
Consideremos el espacio topológico \( \mathbb{R} \) con la topología usual, en la que todo intervalo abierto es un conjunto abierto.
Veamos algunos conjuntos y comprobemos si son abiertos aplicando la caracterización \( A = \text{Int}(A) \).
Ejemplo 1
Tomemos el intervalo abierto \( A = (0, 1) \)
$$ A = (0, 1) $$
El interior de \( A \) es el mismo conjunto \( (0,1) \).
$$ \text{Int}(A) = (0,1) $$
Como \( A \) coincide con su interior, concluimos que \( A \) es un conjunto abierto.
Ejemplo 2
Ahora consideremos el intervalo cerrado \( B = [0,1] \)
$$ B = [0, 1] $$
El interior de \( B \) es el intervalo abierto entre 0 y 1, es decir, sin los extremos.
$$ \text{Int}(B) = (0,1) $$
En este caso, el conjunto \( B = [0,1] \) no coincide con su interior \( \text{Int}(B) = (0,1) \), por lo tanto, no es un conjunto abierto.
Nota: Estos ejemplos ilustran cómo la noción de interior puede utilizarse para determinar si un conjunto es abierto o no.
Demostración
Queremos demostrar que un conjunto \( A \) es abierto si, y solo si, coincide con su interior \( \text{Int}(A) \).
Dividiremos la demostración en dos partes:
1] Si \( A \) es abierto, entonces \( \text{Int}(A) = A \)
Supongamos que \( A \) es un conjunto abierto.
Por definición, el interior \(\text{Int}(A)\) está formado por todos los puntos de \( A \) que admiten un entorno abierto contenido en \( A \).
Dado que \( A \) es abierto, cada punto \( x \in A \) tiene un entorno abierto \( U \subseteq A \).
Por tanto, todos los puntos de \( A \) pertenecen también a \(\text{Int}(A)\).
$$ A \subseteq \text{Int}(A) $$
Además, como el interior se define como la unión de todos los subconjuntos abiertos de \( A \), se cumple que:
$$ \text{Int}(A) \subseteq A $$
La doble inclusión implica que ambos conjuntos son iguales:
$$ A = \text{Int}(A) $$
2] Si \( A = \text{Int}(A) \), entonces \( A \) es abierto
Supongamos ahora que \( A = \text{Int}(A) \).
Queremos probar que \( A \) es abierto.
Tomemos un punto cualquiera \( x \in A \).
Como \( x \in \text{Int}(A) \) y \( \text{Int}(A) = A \), por la definición de interior, \( x \) posee un entorno abierto \( U \subseteq \text{Int}(A) = A \).
Esto implica que todo punto de \( A \) está contenido en un entorno abierto dentro de \( A \), lo cual es precisamente la condición para que \( A \) sea abierto.
En consecuencia, \( A \) es un conjunto abierto.
3] Conclusión
Hemos demostrado que un conjunto \( A \) en un espacio topológico \( X \) es abierto si, y solo si, coincide con su interior; es decir, \( A = \text{Int}(A) \).
Y así sucesivamente.
