Equivalencia Topológica de Productos de Espacios

Sean $X$, $Y$ y $Z$ espacios topológicos. Entonces, los productos $$ (X \times Y) \times Z $$ $$ X \times (Y \times Z) $$ $$ X \times Y \times Z $$ son todos topológicamente equivalentes. $$ (X \times Y) \times Z \cong X \times (Y \times Z) \cong X \times Y \times Z $$

Esto significa que, independientemente de cómo agrupemos los espacios en un producto cartesiano, el espacio topológico resultante sigue siendo el mismo.

En otras palabras, el producto cartesiano de espacios topológicos es una operación asociativa.

Nota: Esta propiedad resulta especialmente útil, ya que nos permite trabajar con productos de varios espacios topológicos sin necesidad de preocuparnos por el orden ni la agrupación de los factores.

Un Ejemplo Práctico

Para ilustrar la equivalencia topológica de los productos, consideremos algunos espacios básicos, como $\mathbb{R}$ (los números reales con la topología usual) y $\mathbb{R}^2$ (el plano cartesiano dotado de la topología producto).

Tomemos tres copias del espacio $\mathbb{R}$:

$X = \mathbb{R}$
$Y = \mathbb{R}$
$Z = \mathbb{R}$

Veamos ahora distintas formas de formar productos entre estos espacios:

Producto $(X \times Y) \times Z$
Primero, formamos $X \times Y$, que nos da el plano cartesiano $\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2$. A continuación, tomamos el producto de $\mathbb{R}^2$ con $Z$, obteniendo $\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}$. Este espacio consiste en ternas ordenadas $((x, y), z)$, donde $x, y, z \in \mathbb{R}$, y es homeomorfo a $\mathbb{R}^3$.
Producto $X \times (Y \times Z)$
Primero, calculamos $Y \times Z$, que de nuevo nos da el plano cartesiano $\mathbb{R}^2$. Luego, formamos el producto de $X$ con $\mathbb{R}^2$, es decir, $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^2$. Este espacio está formado por ternas ordenadas $(x, (y, z))$, con $x, y, z \in \mathbb{R}$, y también es homeomorfo a $\mathbb{R}^3$.
Producto $X \times Y \times Z$
Finalmente, podemos considerar directamente el producto cartesiano de los tres espacios, obteniendo ternas ordenadas $(x, y, z)$ con $x, y, z \in \mathbb{R}$. Este espacio, naturalmente, también es homeomorfo a $\mathbb{R}^3$.

En los tres casos, el espacio topológico obtenido es homeomorfo a $\mathbb{R}^3$.

La forma de agrupar los factores o el orden en que se realizan los productos no afecta el resultado final, lo cual confirma que estos productos son topológicamente equivalentes.

Este ejemplo ilustra claramente que, independientemente de cómo agrupemos los espacios, el espacio topológico resultante siempre será el mismo.