Inclusión de Conjuntos Abiertos en el Interior de un Conjunto
Si \( U \) es un conjunto abierto en un espacio topológico \( X \) y \( U \) está contenido en \( A \), entonces \( U \) está incluido en el interior de \( A \). $$ U \subseteq \text{Int}(A) $$
El interior de \( A \), \(\text{Int}(A)\), es el conjunto abierto más grande contenido en \( A \).
Por tanto, cualquier conjunto abierto \( U \) que esté contenido en \( A \), también estará necesariamente incluido en el interior \(\text{Int}(A)\) del conjunto \( A \).
$$ \text{Int}(A) = \bigcup \{ O \subseteq A \mid O \text{ es abierto en } X \} $$
Dentro de esta familia de conjuntos abiertos se encuentra \( U \), ya que, según la hipótesis inicial, es un conjunto abierto contenido en \( A \).
Un Ejemplo Práctico
Consideremos dos conjuntos, \( U \) y \( A \), en el espacio topológico \( \mathbb{R} \) (los números reales) con la topología estándar, en la que los conjuntos abiertos son intervalos abiertos y uniones arbitrarias de ellos.
$$ U = (1, 2) $$
$$ A = [0, 3] $$
El conjunto \( U = (1, 2) \) es abierto, ya que se trata de un intervalo abierto de \(\mathbb{R}\), y por tanto, pertenece a la topología estándar de \(\mathbb{R}\).
Además, \( U \) está contenido en \( A \), pues \( (1, 2) \subseteq [0, 3] \). Es decir, todos los puntos de \( U \) también pertenecen a \( A \), de modo que \( U \subseteq A \).
El interior de \( A = [0, 3] \), denotado como \(\text{Int}(A)\), es el mayor conjunto abierto contenido en \( A \).
En este caso, el interior de \( A \) es \((0, 3)\), ya que ese es el mayor intervalo abierto completamente contenido en \([0, 3]\).
$$ \text{Int}(A) = (0,3) $$
Dado que \( U = (1, 2) \) y \(\text{Int}(A) = (0, 3)\), resulta evidente que \( U \) está contenido en el interior de \( A \).
$$ U \subseteq \text{Int}(A) $$
Con este ejemplo hemos comprobado que \( U \) es un conjunto abierto en \(\mathbb{R}\) y que \( U \subseteq A \), lo que implica que \( U \subseteq \text{Int}(A) \).
Esto confirma que, siempre que \( U \) sea un conjunto abierto en \( \mathbb{R} \) y esté contenido en \( A \), entonces también lo estará en el interior de \( A \).
La Demostración
Sea \( X \) un espacio topológico, \( U \) un conjunto abierto en \( X \), y \( A \subseteq X \) tal que \( U \subseteq A \).
Por hipótesis:
- \( U \) es un conjunto abierto en \( X \).
- \( U \) está contenido en \( A \), es decir, \( U \subseteq A \).
Según la definición de interior, \( \text{Int}(A) \) es el mayor conjunto abierto contenido dentro de \( A \).
Dado que \( U \) es abierto en \( X \) y está contenido en \( A \), entonces \( U \) forma parte de la familia de conjuntos abiertos cuya unión constituye \( \text{Int}(A) \).
Por definición, el interior \( \text{Int}(A) \) es la unión de todos los conjuntos abiertos contenidos en \( A \). Como \( U \) es uno de ellos, se concluye que \( U \subseteq \text{Int}(A) \).
Por consiguiente, si \( U \) es un conjunto abierto en \( X \) y \( U \subseteq A \), entonces \( U \subseteq \text{Int}(A) \).
Y así queda demostrado.
