Inclusión de interiores de conjuntos en topología
Si un conjunto \( A \) está contenido en un conjunto \( B \), entonces el interior de \( A \) también está contenido en el interior de \( B \). $$ A \subseteq B \Rightarrow \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$
Este resultado se deduce del hecho de que todo conjunto abierto contenido en \( A \) también lo está en \( B \).
En consecuencia, la operación de tomar el interior respeta la relación de inclusión entre conjuntos.
Un ejemplo práctico
Consideremos dos conjuntos \( A \) y \( B \) en \( \mathbb{R} \), dotado de la topología usual.
$$ A = [1, 3] $$
$$ B = [0, 4] $$
Está claro que el conjunto \( A \) es subconjunto de \( B \).
$$ A \subseteq B $$
En \( \mathbb{R} \) con la topología usual, el interior de un conjunto es la unión de todos los abiertos contenidos en él.
- Interior de A
El conjunto \( A = [1, 3] \) contiene el intervalo abierto \( (1, 3) \). Por tanto: \[
\text{Int}(A) = (1, 3)
\] - Interior de B
El conjunto \( B = [0, 4] \) contiene el intervalo abierto \( (0, 4) \). Por tanto: \[
\text{Int}(B) = (0, 4)
\]
Se observa claramente que el interior \( \text{Int}(A) = (1, 3) \) está contenido en el interior \( \text{Int}(B) = (0, 4) \).
$$ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$
Este ejemplo muestra de forma evidente que si \( A \subseteq B \), entonces también se cumple \( \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) \) en \( \mathbb{R} \) con la topología usual.
La demostración
Sean \( A \) y \( B \) dos subconjuntos de un espacio topológico \( X \), tales que \( A \subseteq B \).
Queremos demostrar que \( \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) \), donde \( \text{Int}(A) \) denota el interior de \( A \).
Por definición, el interior de un conjunto \( A \), representado por \( \text{Int}(A) \), es la unión de todos los conjuntos abiertos contenidos en \( A \).
Es decir, \( \text{Int}(A) \) es el mayor abierto contenido completamente en \( A \).
Como \( A \subseteq B \), todo abierto contenido en \( A \) está necesariamente contenido también en \( B \).
Por tanto, cada conjunto abierto incluido en \( A \) es también subconjunto de \( B \).
Dado que \( \text{Int}(A) \) es la unión de esos abiertos, y todos están contenidos en \( B \), se concluye que \( \text{Int}(A) \) es un conjunto abierto incluido en \( B \).
Ahora bien, \( \text{Int}(B) \) es, por definición, el mayor abierto contenido en \( B \).
Como \( \text{Int}(A) \) es un abierto contenido en \( B \), se deduce que necesariamente \( \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) \).
En resumen, si \( A \subseteq B \), entonces también se cumple que \( \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) \).
Esto demuestra que la operación de tomar el interior conserva la relación de inclusión entre conjuntos.
Y así sucesivamente.
