Intersección de Conjuntos Abiertos en la Topología Cociente
En la topología cociente, la preimagen de la intersección finita de una colección de conjuntos abiertos \( U_i \) coincide con la intersección de sus respectivas preimágenes, que son conjuntos abiertos en la topología original \( X \): $$ p^{-1}\left( \bigcap U_i \right) = \bigcap p^{-1}(U_i) $$ Por consiguiente, la intersección finita de conjuntos abiertos sigue siendo un conjunto abierto en la topología cociente.
Un Ejemplo Práctico
Consideremos el clásico espacio cociente \( A = \mathbb{R}/\mathbb{Z} \), que puede interpretarse intuitivamente como un círculo.
En este contexto, el espacio original es el conjunto de los números reales \( \mathbb{R} \), y la aplicación cociente \( p: \mathbb{R} \to \mathbb{R}/\mathbb{Z} \) asocia a cada número real su parte fraccionaria.
El espacio cociente se representa mediante el intervalo [0,1), donde 0 está incluido y 1 está excluido.
Por ejemplo, los números 0.3, 1.3 y 2.3 se identifican todos con el punto 0.3 en el círculo.
Supongamos ahora dos conjuntos abiertos en el círculo \( A \):
$$ U_1 = (0.1, 0.5) $$
$$ U_2 = (0.3, 0.7) $$
Estos intervalos constituyen conjuntos abiertos en la topología cociente \( \mathbb{R}/\mathbb{Z} \).
Calculemos su intersección:
$$ U_1 \cap U_2 = (0.3, 0.5) $$
La intersección es claramente un intervalo abierto dentro del círculo, y, por tanto, un conjunto abierto en \( A \).
En \( \mathbb{R} \), las preimágenes de estos conjuntos mediante \( p \) se describen como uniones infinitas de intervalos abiertos, que se repiten periódicamente a lo largo de la recta real.
La preimagen de \( U_1 \) es:
$$ p^{-1}(U_1) = (0.1, 0.5) \cup (1.1, 1.5) \cup (2.1, 2.5) \cup \dots $$
Asimismo, la preimagen de \( U_2 \) resulta ser:
$$ p^{-1}(U_2) = (0.3, 0.7) \cup (1.3, 1.7) \cup (2.3, 2.7) \cup \dots $$
Procedamos ahora a determinar la preimagen de su intersección.
La preimagen de \( U_1 \cap U_2 \) en \( \mathbb{R} \) es precisamente la intersección de las preimágenes de \( U_1 \) y \( U_2 \):
$$ p^{-1}(U_1 \cap U_2) = (0.3, 0.5) \cup (1.3, 1.5) \cup (2.3, 2.5) \cup \dots $$
Esta unión de intervalos abiertos pertenece a la topología usual de \( \mathbb{R} \), lo que implica que se trata de un conjunto abierto en \( \mathbb{R} \).
Dado que la preimagen de la intersección es abierta en \( \mathbb{R} \), concluimos que la intersección \( U_1 \cap U_2 \) es también un conjunto abierto en la topología cociente \( \mathbb{R}/\mathbb{Z} \).
De este modo, queda demostrado que la intersección finita de conjuntos abiertos en el círculo es abierta, tal como era de esperarse.
Y así sucesivamente.
