Intersección entre el borde y el conjunto en topología
La intersección entre el borde \( \partial A \) de un conjunto y el propio conjunto \( A \) es vacía si, y solo si, el conjunto es abierto: $$ \partial A \cap A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ es abierto} $$
En otras palabras, un conjunto \( A \) es abierto si, y solo si, ninguno de sus puntos pertenece a su borde.
Dicho de otro modo, cuando \( A \) es abierto, el conjunto y su borde son disjuntos.
Ejemplo práctico
Consideremos el intervalo abierto \((0, 1)\) en un espacio topológico sencillo como la recta real \(\mathbb{R}\), dotada de la topología usual.
$$ A = (0, 1) $$
El conjunto \( A \) es abierto en la topología usual sobre \(\mathbb{R}\).
El borde de \( A \) se define como la intersección entre la clausura de \( A \) y la clausura del complemento \( \mathbb{R} - A \):
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(\mathbb{R} - A) $$
La clausura de \( A \) es el intervalo cerrado \([0, 1]\):
$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$
La clausura del complemento de \( A \) es:
$$ \text{Cl}(\mathbb{R}-A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
Por tanto, el borde de \( A \) queda determinado como:
$$ \partial A = [0, 1] \cap ((-\infty, 0] \cup [1, \infty)) $$
$$ \partial A = \{0, 1\} $$
Una vez identificado el borde de \( A \), consideramos ahora su intersección con el conjunto:
$$ \partial A \cap A = \{0, 1\} \cap (0, 1) = \emptyset $$
Este ejemplo muestra que el intervalo abierto \((0, 1)\) no contiene puntos de su borde, lo que confirma que se trata de un conjunto abierto.
Ejemplo 2
Consideremos ahora el intervalo cerrado \( B = [0, 1] \), también en la topología usual sobre \(\mathbb{R}\):
$$ B = [0, 1] $$
El conjunto \( B \) es cerrado.
El borde de \( B \) está formado por los puntos que pertenecen simultáneamente a la clausura de \( B \) y a la clausura de su complemento:
$$ \partial B = \text{Cl}(B) \cap \text{Cl}(\mathbb{R} - B) $$
Sabemos que:
$$ \text{Cl}(B) = [0, 1] $$
Y que la clausura del complemento de \( B \) es:
$$ \text{Cl}(\mathbb{R} - B) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
Por tanto:
$$ \partial B = [0, 1] \cap ((-\infty, 0] \cup [1, \infty)) $$
$$ \partial B = \{0, 1\} $$
En este caso, la intersección del borde con el conjunto no es vacía:
$$ \partial B \cap B = \{0, 1\} \cap [0, 1] = \{0, 1\} $$
Esto confirma que el intervalo cerrado \([0, 1]\) no es abierto, ya que incluye sus puntos frontera.
Demostración
Procedemos ahora a justificar la equivalencia a través de una doble implicación.
(⇒) Si \( \partial A \cap A = \emptyset \), entonces \( A \) es abierto
Supongamos que la intersección entre el borde de \( A \) y el propio conjunto es vacía:
$$ \partial A \cap A = \emptyset $$
Queremos demostrar que \( A \) es abierto.
Si ningún punto de \( A \) pertenece al borde, entonces para cada punto de \( A \) existe un entorno completamente contenido en \( A \).
Esto coincide exactamente con la definición de conjunto abierto en topología.
Por tanto, \( A \) es abierto.
(⇐) Si \( A \) es abierto, entonces \( \partial A \cap A = \emptyset \)
Ahora supongamos que \( A \) es abierto.
Queremos demostrar que el conjunto y su borde no comparten puntos:
$$ \partial A \cap A = \emptyset $$
Dado que \( A \) es abierto, cada uno de sus puntos admite un entorno que está completamente contenido en \( A \), y por tanto no puede estar “al límite” entre \( A \) y su complemento.
En consecuencia, ningún punto de \( A \) puede pertenecer a su borde.
Por lo tanto, se tiene que \( \partial A \cap A = \emptyset \).
Conclusión
Hemos demostrado que un conjunto es abierto si, y solo si, no contiene puntos de su borde: $$ \partial A \cap A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ es abierto} $$
Y así continúa el desarrollo.
