Intersección entre el borde y el interior de un conjunto
La intersección entre el borde \( \partial A \) y el interior \( \text{Int}(A) \) de un conjunto es siempre vacía: $$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \emptyset $$
Esta afirmación refleja la relación fundamental que existe, en un contexto topológico, entre el borde y el interior de un conjunto.
Ejemplo numérico
Consideremos el espacio topológico \(\mathbb{R}\), provisto de la topología usual, en la cual los conjuntos abiertos son los intervalos abiertos.
Tomemos como ejemplo el conjunto \(A = (0, 1)\), es decir, el intervalo abierto entre 0 y 1.
El interior de \(A\) está constituido por todos aquellos puntos que admiten un entorno completamente contenido en \(A\). En este caso, cada punto del intervalo pertenece a su interior:
$$ \text{Int}(A) = A = (0, 1) $$
La clausura de \(A\) incluye todos los puntos de \(A\), así como sus puntos de acumulación - los extremos 0 y 1 - :
$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$
El complemento de \(A\) en \(\mathbb{R}\) es el conjunto:
$$ \mathbb{R} - A = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
Dado que este conjunto es cerrado en \(\mathbb{R}\), su clausura coincide con él mismo:
$$ \text{Cl}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
El borde de \(A\) se obtiene como la intersección de estas dos clausuras:
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(\mathbb{R} - A) $$
$$ \partial A = [0, 1] \cap ((-\infty, 0] \cup [1, \infty)) $$
$$ \partial A = \{0, 1\} $$
La intersección entre el borde y el interior de \(A\) es entonces:
$$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \{0, 1\} \cap (0, 1) = \emptyset $$
Como se puede observar, no existe ningún punto común entre el borde de \(A\) (\(\partial A = \{0, 1\}\)) y su interior (\(\text{Int}(A) = (0, 1)\)).
Este ejemplo confirma que la intersección entre el borde de un conjunto y su interior es siempre vacía:
$$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \emptyset $$
Demostración
Esta propiedad puede establecerse rigurosamente a partir de las definiciones fundamentales de la topología.
Por definición, el borde de un conjunto \(A\) es:
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X - A) $$
Los puntos del borde son aquellos en los que todo entorno intersecta simultáneamente al conjunto y a su complemento, es decir, puntos que "están al límite" entre ambos.
En cambio, el interior \( \text{Int}(A) \) está formado por los puntos de \(A\) que poseen un entorno totalmente contenido en \(A\). Dichos puntos se encuentran "estrictamente en el interior" del conjunto.
Supongamos que \(x \in \partial A\). Entonces, por definición:
- \(x \in \text{Cl}(A)\), lo cual implica que todo entorno de \(x\) intersecta \(A\); y
- \(x \in \text{Cl}(X - A)\), por lo que todo entorno de \(x\) intersecta también el complemento de \(A\).
En consecuencia, ningún entorno de \(x\) puede estar contenido por completo en \(A\), lo que excluye que \(x\) pertenezca al interior de \(A\):
$$ x \notin \text{Int}(A) $$
Recíprocamente, si \(y \in \text{Int}(A)\), entonces existe un entorno de \(y\) completamente contenido en \(A\). Esto significa que dicho entorno no puede intersectar \(X - A\), y por lo tanto:
$$ y \notin \text{Cl}(X - A) \Rightarrow y \notin \partial A $$
De ambas implicaciones se concluye que los conjuntos \(\partial A\) y \(\text{Int}(A)\) son disjuntos:
$$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \emptyset $$
Q.E.D.
