La Intersección de los Interiores de Conjuntos
La intersección de los interiores de dos conjuntos \(A\) y \(B\) es igual al interior de su intersección: $$ \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) = \text{Int}(A \cap B) $$
En otras palabras, el interior de la intersección de dos conjuntos es exactamente la intersección de sus interiores.
De manera intuitiva, si tomamos los puntos que pertenecen al interior de \(A\) y los que pertenecen al interior de \(B\), y luego consideramos su intersección, obtenemos precisamente los puntos interiores del conjunto \(A \cap B\).
Para entender mejor esta propiedad, conviene recordar dos conceptos fundamentales:
- Interior de un conjunto (\(\text{Int}(A)\)): Es el conjunto de todos los puntos de \(A\) que no están en su frontera. Cada punto interior posee un entorno abierto completamente contenido en \(A\).
- Intersección (\(\cap\)): Es el conjunto de todos los elementos que pertenecen simultáneamente a \(A\) y a \(B\).
Así, al tomar los puntos interiores de \(A\) (\(\text{Int}(A)\)) y los de \(B\) (\(\text{Int}(B)\)), y luego hallar la intersección entre ambos conjuntos, obtenemos exactamente el interior de \(A \cap B\).
Un Ejemplo Intuitivo
Imaginemos dos círculos \(A\) y \(B\) que se solapan parcialmente.
El interior de \(A\) comprende toda su región excepto la frontera, y lo mismo ocurre con \(B\).
Si tomamos la intersección de estas dos regiones interiores, obtenemos exactamente el área interior de la zona donde \(A\) y \(B\) se solapan.
La Demostración
Demostraremos la igualdad en dos pasos:
1] Primera Inclusión (\(\subseteq\))
Supongamos que un punto pertenece a \(\text{Int}(A) \cap \text{Int}(B)\). Esto significa que el punto es interior tanto en \(A\) como en \(B\), por lo que existen entornos abiertos completamente contenidos en cada uno de estos conjuntos.
Dado que la intersección de conjuntos abiertos sigue siendo un conjunto abierto, el entorno resultante también será un entorno abierto que contiene al punto y está enteramente contenido en \(A \cap B\).
Por lo tanto, el punto pertenece al interior de \(A \cap B\), lo que prueba la inclusión.
Sea \(x \in \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B)\). Entonces, por definición de interior, existen entornos abiertos \(U\) y \(V\) tales que \(x \in U \subseteq A\) y \(x \in V \subseteq B\).
Definamos \(W = U \cap V\). Como la intersección de conjuntos abiertos es abierta, \(W\) es un entorno abierto que contiene a \(x\).
Además, como \(W\) está contenido en \(A\) y en \(B\), se sigue que \(W \subseteq A \cap B\).
Por lo tanto, \(x \in \text{Int}(A \cap B)\).
Así, \(\text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) \subseteq \text{Int}(A \cap B)\).
2] Segunda Inclusión (\(\supseteq\))
Ahora supongamos que un punto pertenece a \(\text{Int}(A \cap B)\). Por definición, existe un entorno abierto alrededor del punto que está completamente contenido en \(A \cap B\).
Pero esto implica que dicho entorno también está contenido en \(A\) y en \(B\) individualmente, lo que significa que el punto pertenece simultáneamente a \(\text{Int}(A)\) y \(\text{Int}(B)\).
De este modo, se prueba la inclusión inversa.
Sea \(x \in \text{Int}(A \cap B)\). Por definición, existe un entorno abierto \(W\) tal que \(x \in W \subseteq A \cap B\).
Como \(W\) está contenido en \(A \cap B\), también está contenido en \(A\) y en \(B\), es decir, \(W \subseteq A\) y \(W \subseteq B\).
Por lo tanto, \(x \in \text{Int}(A)\) y \(x \in \text{Int}(B)\), lo que implica que \(x \in \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B)\).
Así, \(\text{Int}(A \cap B) \subseteq \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B)\).
Como hemos demostrado ambas inclusiones, concluimos que los dos conjuntos son iguales:
\[ \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) = \text{Int}(A \cap B) \]
La demostración queda completa.
Y con esto, hemos justificado la igualdad deseada.
