La propiedad caracterizadora de los conjuntos cerrados

Un conjunto \( A \) es cerrado si, y solo si, su clausura coincide con él mismo en el espacio topológico. $$ A = \text{Cl}(A) $$

Ejemplo práctico

Consideremos el espacio topológico \( \mathbb{R} \) con la topología usual, y el conjunto \( A = [0, 1] \).

Un conjunto es cerrado cuando contiene todos sus puntos límite. En este caso, los puntos límite de \( A = [0, 1] \) son todos los puntos entre \( 0 \) y \( 1 \), incluyendo ambos extremos.

Como el conjunto \( A \) incluye todos estos puntos, concluimos que es un conjunto cerrado.

Veamos ahora si se cumple que \( A = \text{Cl}(A) \).

La clausura de \( A \) en la topología usual es el propio conjunto, es decir, \( \text{Cl}(A) = [0, 1] \), ya que \( [0, 1] \) contiene todos sus puntos límite.

$$ A = \text{Cl}(A) $$

Este ejemplo confirma que el conjunto \( A = [0, 1] \) es cerrado, ya que coincide con su clausura.

Además, ilustra que un conjunto \( A \) es cerrado si, y solo si, \( A = \text{Cl}(A) \).

Demostración

Partamos de las definiciones fundamentales:

• Clausura: La clausura de un conjunto \( A \), denotada por \( \text{Cl}(A) \), es el conjunto formado por los puntos de \( A \) junto con todos sus puntos límite. Formalmente: \[ \text{Cl}(A) = A \cup \{x \in X \mid \text{ todo entorno de } x \text{ contiene al menos un punto de } A \} \]
• Conjunto cerrado: Se dice que un conjunto \( A \) es cerrado cuando contiene todos sus puntos límite. Por tanto, \( A \) es cerrado si, y solo si, \( A = \text{Cl}(A) \).

Demostraremos la equivalencia en ambas direcciones:

1] Si \( A \) es cerrado, entonces \( A = \text{Cl}(A) \):

Si \( A \) es cerrado, por definición contiene todos sus puntos límite.

Por lo tanto, no hay puntos límite de \( A \) que estén fuera de él.

Dado que la clausura de \( A \) es la unión de \( A \) con sus puntos límite, se concluye que:

$$ \text{Cl}(A) = A \cup \{ \text{puntos límite de } A \} = A $$

En consecuencia, \( A = \text{Cl}(A) \).

2] Si \( A = \text{Cl}(A) \), entonces \( A \) es cerrado:

Si \( A = \text{Cl}(A) \), entonces \( A \) contiene todos sus puntos límite, ya que \( \text{Cl}(A) \) se define precisamente como la unión de \( A \) con esos puntos.

Por tanto, según la definición, \( A \) es un conjunto cerrado.