La propiedad de complementariedad entre el interior y el cierre de un conjunto
En topología, la propiedad de complementariedad entre el interior y el cierre de un conjunto establece que el interior del complemento de un conjunto \( A \) coincide con el complemento del cierre de \( A \). $$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$
Un ejemplo práctico
Consideremos un espacio topológico sencillo: la recta real \(\mathbb{R}\) con la topología usual, en la que los abiertos son los intervalos abiertos.
El conjunto \( A = [0, 1] \) es un intervalo cerrado.
$$ A = [0, 1] $$
El complemento de \( A \) en \(\mathbb{R}\) es:
$$ \mathbb{R} - A = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
El interior de \( \mathbb{R} - A \), denotado como Int(\(\mathbb{R} - A\)), está formado por todos los puntos interiores del conjunto \( \mathbb{R} - A \).
Dado que \((- \infty, 0) \cup (1, \infty)\) ya es un conjunto abierto, el interior del complemento es:
$$ \text{Int}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
El cierre de \( A \), denotado por Cl(\(A\)), está compuesto por todos los puntos de \( A \) junto con sus puntos de acumulación.
Como \( A \) ya es un cerrado, su cierre es:
$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$
El complemento del cierre de \( A \) en \(\mathbb{R}\) es:
$$ \mathbb{R} - \text{Cl}(A) = \mathbb{R} - [0, 1] = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
Comparemos ahora ambos resultados:
- \(\text{Int}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty)\)
- \(\mathbb{R} - \text{Cl}(A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty)\)
Como se puede observar, ambos conjuntos son iguales. Esto nos permite concluir que el interior del complemento de un conjunto \( A \) coincide con el complemento del cierre de \( A \).
$$ \text{Int}(\mathbb{R} - A) = \mathbb{R} - \text{Cl}(A) $$
De este modo se confirma la propiedad de complementariedad entre el interior y el cierre de un conjunto.
El ejemplo anterior ilustra de forma clara cómo se manifiesta esta propiedad en un caso concreto.
Demostración
Sea \( A \) un subconjunto de un espacio topológico \( X \).
Queremos demostrar que \( \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) \).
Para ello, utilizaremos las definiciones básicas de interior y cierre de un conjunto en un espacio topológico.
Recordemos:
- \(\text{Int}(B)\): el interior de un conjunto \( B \) es el conjunto de todos sus puntos interiores.
- \(\text{Cl}(A)\): el cierre de un conjunto \( A \) es la unión de \( A \) con todos sus puntos de acumulación.
La demostración consta de dos inclusiones:
1] Demostrar que \(\text{Int}(X - A) \subseteq X - \text{Cl}(A)\):
Sea \( x \in \text{Int}(X - A) \).
Entonces existe un entorno abierto \( U \) de \( x \) tal que \( U \subseteq X - A \).
Esto implica que \( U \cap A = \emptyset \), es decir, que \( x \) no puede ser punto de acumulación de \( A \).
En efecto, si \( x \) fuera un punto de acumulación de \( A \), todo entorno suyo intersectaría \( A \), lo que contradice el hecho de que \( U \cap A = \emptyset \).
Por lo tanto, \( x \notin \text{Cl}(A) \), lo que implica que \( x \in X - \text{Cl}(A) \).
Se deduce entonces que \(\text{Int}(X - A) \subseteq X - \text{Cl}(A)\).
2] Demostrar que \(X - \text{Cl}(A) \subseteq \text{Int}(X - A)\)
Sea ahora \( x \in X - \text{Cl}(A) \).
Por definición, \( x \notin \text{Cl}(A) \), es decir, existe un entorno abierto \( U \) de \( x \) tal que \( U \cap A = \emptyset \).
Esto implica que \( U \subseteq X - A \), y por tanto \( x \in \text{Int}(X - A) \).
Así, \( X - \text{Cl}(A) \subseteq \text{Int}(X - A) \).
3] Conclusión:
Dado que se cumplen ambas inclusiones:
$$ \text{Int}(X - A) \subseteq X - \text{Cl}(A) $$
$$ X - \text{Cl}(A) \subseteq \text{Int}(X - A) $$
Se concluye que:
$$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$
Con esto queda demostrada la propiedad.
