La Propiedad de Complementariedad entre el Interior y la Clausura de un Conjunto
En topología, la propiedad de complementariedad entre el interior y la clausura de un conjunto establece que el interior del complemento de un conjunto \( A \) coincide con el complemento de la clausura de \( A \): $$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$
Ejemplo Ilustrativo
Consideremos un espacio topológico sencillo: la recta real \(\mathbb{R}\) con la topología usual, donde los conjuntos abiertos son los intervalos abiertos.
Sea \( A = [0,1] \), un intervalo cerrado.
$$ A = [0,1] $$
Su complemento en \(\mathbb{R}\) es:
$$ \mathbb{R} - A = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
El interior de \( \mathbb{R} - A \), denotado \( \text{Int}(\mathbb{R} - A) \), está formado por todos los puntos interiores de \( \mathbb{R} - A \).
Dado que \( (-\infty, 0) \cup (1, \infty) \) ya es un conjunto abierto, su interior es él mismo:
$$ \text{Int}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
Por otro lado, la clausura de \( A \), denotada \( \text{Cl}(A) \), es el menor conjunto cerrado que contiene a \( A \), es decir, \( A \) junto con todos sus puntos de acumulación.
Como \( A \) ya es un conjunto cerrado, su clausura es simplemente:
$$ \text{Cl}(A) = [0,1] $$
El complemento de la clausura de \( A \) en \(\mathbb{R}\) es:
$$ \mathbb{R} - \text{Cl}(A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
Comparando los resultados:
- \(\text{Int}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty)\)
- \(\mathbb{R} - \text{Cl}(A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty)\)
Se observa que los dos conjuntos coinciden, lo que confirma que:
$$ \text{Int}(\mathbb{R} - A) = \mathbb{R} - \text{Cl}(A) $$
Este resultado ejemplifica la propiedad de complementariedad entre el interior y la clausura de un conjunto.
Demostración
Sea \( A \) un conjunto en un espacio topológico \( X \). Vamos a probar que:
$$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$
Nos basaremos en las siguientes definiciones:
- El interior de un conjunto \( B \), denotado \( \text{Int}(B) \), es el conjunto de los puntos de \( B \) que poseen un entorno contenido completamente en \( B \).
- La clausura de un conjunto \( A \), denotada \( \text{Cl}(A) \), es el menor conjunto cerrado que contiene a \( A \), es decir, \( A \) junto con todos sus puntos de acumulación.
Demostraremos la igualdad por doble inclusión:
1] Demostración de \(\text{Int}(X - A) \subseteq X - \text{Cl}(A)\)
Sea \( x \in \text{Int}(X - A) \). Por definición, existe un entorno \( U \) de \( x \) tal que \( U \subseteq X - A \).
Esto implica que \( U \cap A = \emptyset \), es decir, ningún punto de \( A \) está en \( U \).
Si \( x \) fuera un punto de acumulación de \( A \), todo entorno suyo contendría algún punto de \( A \), lo que contradice \( U \cap A = \emptyset \).
Por lo tanto, \( x \notin \text{Cl}(A) \), es decir, \( x \in X - \text{Cl}(A) \).
Concluimos que:
$$ \text{Int}(X - A) \subseteq X - \text{Cl}(A) $$
2] Demostración de \(X - \text{Cl}(A) \subseteq \text{Int}(X - A)\)
Sea \( x \in X - \text{Cl}(A) \). Esto significa que \( x \) no pertenece a \( \text{Cl}(A) \), es decir, no es un punto de \( A \) ni un punto de acumulación de \( A \).
Por lo tanto, existe un entorno \( U \) de \( x \) tal que \( U \cap A = \emptyset \).
Esto implica que \( U \subseteq X - A \), por lo que \( x \in \text{Int}(X - A) \).
Concluimos que:
$$ X - \text{Cl}(A) \subseteq \text{Int}(X - A) $$
3] Conclusión
Dado que hemos probado ambas inclusiones:
$$ \text{Int}(X - A) \subseteq X - \text{Cl}(A) $$
$$ X - \text{Cl}(A) \subseteq \text{Int}(X - A) $$
Se sigue que:
$$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$
Esto completa la demostración.
