La propiedad monótona del cierre de un conjunto
La propiedad monótona del cierre establece que si \( A \) y \( B \) son dos conjuntos cualesquiera (no necesariamente cerrados) y \( A \subseteq B \), entonces el cierre de \( A \) está contenido en el cierre de \( B \): \[ A \subseteq B \implies \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]
Se trata de una idea tan natural que casi parece evidente por sí sola.
Para visualizarlo, imagina que colocas una caja pequeña dentro de otra más grande, y luego cierras ambas. La caja pequeña queda encerrada dentro de la grande.
Un ejemplo concreto
Consideremos un espacio topológico familiar: la recta real \(\mathbb{R}\) con su topología usual.
En este contexto, los conjuntos abiertos son precisamente los intervalos abiertos.
Tomemos los siguientes subconjuntos de \(\mathbb{R}\):
\[ A = (0, 1) \]
\[ B = [0, 2] \]
Es claro que \( A \subseteq B \), ya que todo elemento de \( A \) pertenece también a \( B \).
\[ A \subseteq B \]
El cierre del conjunto \(A\)
El conjunto \( A \) es el intervalo abierto \( (0, 1) \).
Su cierre se obtiene añadiendo a \( A \) todos sus puntos límite.
Los únicos puntos límite de \( A \) son \( 0 \) y \( 1 \), ya que cualquier entorno de estos puntos contiene elementos de \( A \).
Por tanto, el cierre de \( A \) es:
\[ \text{Cl}(A) = [0, 1] \]
El cierre del conjunto \(B\)
El conjunto \( B \) es el intervalo cerrado \([0, 2]\).
Dado que \( B \) ya es cerrado y contiene todos sus puntos límite, su cierre coincide con el propio conjunto:
\[ \text{Cl}(B) = [0, 2] \]
En resumen
Sabiendo que \( \text{Cl}(A) = [0, 1] \) y \( \text{Cl}(B) = [0, 2] \), se ve claramente que el cierre de \( A \) está contenido en el cierre de \( B \):
\[ \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]
En efecto, el intervalo \([0, 1]\) es un subconjunto de \([0, 2]\), lo cual confirma que \( \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \).
Esto ilustra de forma concreta la validez de la propiedad monótona del cierre.
La demostración
Supongamos que \( A \subseteq B \):
\[ A \subseteq B \]
Queremos demostrar que \( \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \).
Dado que \( A \subseteq B \), todo punto de \( A \) es también un punto de \( B \).
Un punto \( x \in \text{Cl}(A) \) si, y solo si, todo entorno de \( x \) contiene al menos un punto de \( A \) (distinto de \( x \), si \( x \in A \)).
Como \( A \subseteq B \), todo entorno de \( x \) que contenga puntos de \( A \) contendrá también puntos de \( B \), pues \( A \) está incluido en \( B \).
Por otro lado, el cierre de un conjunto \( X \) puede definirse como la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a \( X \).
Así, si \( A \subseteq B \), entonces cualquier conjunto cerrado que contenga a \( B \) contiene también a \( A \).
En consecuencia, la intersección de todos los cerrados que contienen a \( B \) - es decir, \( \text{Cl}(B) \) - incluye necesariamente a \( \text{Cl}(A) \).
Por tanto, \( \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \): los puntos de \( A \) y sus puntos límite están todos contenidos en \( B \) y en sus cerrados.
En conclusión, si \( A \subseteq B \), entonces se cumple \( \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \).
Esta propiedad se deduce directamente de la definición de cierre y de la relación de inclusión entre los conjuntos.
Y así sucesivamente.
