Lema del pegado
Sea \( X \) un espacio topológico y \( A \) y \( B \) dos subconjuntos cerrados cuya unión cubre todo el espacio, es decir, \( A \cup B = X \). Si las funciones \( f: A \to Y \) y \( g: B \to Y \) son continuas hacia un espacio topológico \( Y \), y además coinciden en la intersección, es decir, \( f(x) = g(x) \) para todo \( x \in A \cap B \), entonces la función \( h: X \to Y \) definida por: $$ h(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \in A, \\ g(x) & \text{si } x \in B, \end{cases} $$ es continua.
En términos sencillos, bajo ciertas condiciones, se pueden "pegar" dos funciones para formar una nueva función continua.
Dados dos funciones continuas \( f: A \to Y \) y \( g: B \to Y \), definidas en conjuntos \( A \) y \( B \) que se solapan y coinciden en su intersección, podemos "pegarlas" para construir una nueva función continua \( h \) definida en la unión \( A \cup B \).
Un ejemplo práctico
Consideremos dos funciones definidas en intervalos distintos:
- \( f: [0, 1] \to \mathbb{R} \), definida por \( f(x) = x \), continua en \( [0, 1] \),
- \( g: [1, 2] \to \mathbb{R} \), definida por \( g(x) = 2 - x \), continua en \( [1, 2] \).
Comprobemos ahora si se satisfacen las condiciones del lema del pegado:
- Conjuntos cerrados: Los intervalos \( [0, 1] \) y \( [1, 2] \) son cerrados en \( \mathbb{R} \).
- Cobertura del intervalo: La unión de \( A = [0, 1] \) y \( B = [1, 2] \) es el intervalo \( [0, 2] \), por lo tanto, \( A \cup B = [0, 2] \).
- Coincidencia en la intersección: La intersección es \( A \cap B = \{1\} \). Verifiquemos que \( f(1) = g(1) \):
- \( f(1) = 1 \)
- \( g(1) = 2 - 1 = 1 \)
Por tanto, \( f(1) = g(1) = 1 \), cumpliéndose así la condición de coincidencia en el punto común.
Vemos entonces que se cumplen todas las condiciones del lema.
Definimos ahora la función \( h: [0, 2] \to \mathbb{R} \) de la siguiente manera:
$$ h(x) = \begin{cases} f(x) = x & \text{si } x \in [0, 1], \\ g(x) = 2 - x & \text{si } x \in [1, 2]. \end{cases} $$
La función \( h \) es continua porque:
- En \( [0, 1] \), \( h(x) \) coincide con \( f(x) = x \), función continua en este intervalo.
- En \( [1, 2] \), \( h(x) \) coincide con \( g(x) = 2 - x \), también continua en su dominio.
- En el punto de solapamiento \( x = 1 \), ya hemos comprobado que \( f(1) = g(1) = 1 \), garantizando así la continuidad en \( x = 1 \).
Como ambas funciones son continuas en sus respectivos dominios y coinciden en la intersección, la función \( h(x) \) resulta continua en todo el intervalo \( [0, 2] \).
La función \( h(x) \) se compone de dos tramos rectilíneos:
- En \( [0, 1] \), \( h(x) = x \), una recta creciente.
- En \( [1, 2] \), \( h(x) = 2 - x \), una recta decreciente.
En \( x = 1 \), ambas rectas se encuentran de forma continua.
Demostración
Para demostrar que \( h \) es continua, debemos verificar que la preimagen de cualquier conjunto cerrado de \( Y \) es un conjunto cerrado en \( X \). Recordemos que la continuidad puede caracterizarse mediante esta propiedad.
Formalmente, queremos probar que si \( C \subseteq Y \) es cerrado, entonces \( h^{-1}(C) \) también es cerrado en \( X \).
Debido a que \( h(x) \) se define de manera distinta en \( A \) y \( B \), podemos expresar la preimagen de \( C \) como:
$$ h^{-1}(C) = f^{-1}(C) \cup g^{-1}(C). $$
Donde:
- \( f^{-1}(C) \) es el conjunto de puntos de \( A \) cuya imagen bajo \( f \) pertenece a \( C \).
- \( g^{-1}(C) \) es el conjunto de puntos de \( B \) cuya imagen bajo \( g \) pertenece a \( C \).
Como \( f \) es continua y \( C \) es cerrado en \( Y \), \( f^{-1}(C) \) es cerrado en \( A \).
Dado que \( A \) es cerrado en \( X \), \( f^{-1}(C) \), al ser cerrado en \( A \), también lo es en \( X \).
De manera análoga, \( g^{-1}(C) \) es cerrado en \( B \), y dado que \( B \) es cerrado en \( X \), también es cerrado en \( X \).
Finalmente, \( h^{-1}(C) \), como unión de dos conjuntos cerrados en \( X \), resulta ser cerrado en \( X \).
Concluimos así que \( h \) es continua en todo \( X \), completando la demostración del Lema del Pegado.
Y así sucesivamente.
