Propiedad caracterizadora de los conjuntos cerrados

Un conjunto \( A \) es cerrado si, y solo si, su clausura coincide con el propio conjunto en el espacio topológico considerado: $$ A = \text{Cl}(A) $$

Ejemplo práctico

Consideremos el espacio topológico \( \mathbb{R} \) con la topología estándar y el conjunto \( A = [0, 1] \).

Recordemos que un conjunto es cerrado si contiene todos sus puntos de acumulación. En este caso, los puntos de acumulación de \( A = [0, 1] \) son todos los puntos del propio intervalo, incluidos sus extremos.

Dado que el conjunto \( A \) incluye todos esos puntos, se concluye que es un conjunto cerrado.

Verifiquemos ahora si se cumple la igualdad \( A = \text{Cl}(A) \).

La clausura de \( A \) en la topología usual es el propio conjunto, ya que \( [0, 1] \) contiene todos sus puntos de acumulación:

$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$

Por tanto:

$$ A = \text{Cl}(A) $$

Este ejemplo confirma que el conjunto \( A = [0, 1] \) es cerrado, precisamente porque coincide con su clausura.

Asimismo, ilustra que un conjunto es cerrado si, y solo si, es igual a su clausura.

Demostración

Partamos de los conceptos fundamentales:

• Clausura de un conjunto: La clausura de un conjunto \( A \), denotada \( \text{Cl}(A) \), está compuesta por los puntos de \( A \) junto con todos sus puntos de acumulación. Formalmente: \[ \text{Cl}(A) = A \cup \{x \in X \mid \text{toda vecindad de } x \text{ contiene algún punto de } A \} \]
• Conjunto cerrado: Se dice que un conjunto \( A \) es cerrado si contiene todos sus puntos de acumulación. En consecuencia, \( A \) es cerrado ⇔ \( A = \text{Cl}(A) \).

Demostraremos la equivalencia en ambos sentidos:

1] Si \( A \) es cerrado, entonces \( A = \text{Cl}(A) \):

Supongamos que \( A \) es cerrado. Entonces, por definición, todo punto de acumulación de \( A \) pertenece a \( A \).

Como la clausura de \( A \) está formada por los puntos de \( A \) más sus puntos de acumulación, se tiene:

$$ \text{Cl}(A) = A \cup \{ \text{puntos de acumulación de } A \} = A $$

Por tanto, se verifica que:

$$ A = \text{Cl}(A) $$

2] Si \( A = \text{Cl}(A) \), entonces \( A \) es cerrado:

Supongamos ahora que \( A = \text{Cl}(A) \). Como la clausura incluye todos los puntos de acumulación de \( A \), se deduce que dichos puntos pertenecen a \( A \).

En consecuencia, \( A \) contiene todos sus puntos de acumulación, lo cual implica que \( A \) es cerrado.