Propiedad de inclusión de la clausura en conjuntos cerrados

Si $ C $ es un conjunto cerrado en un espacio topológico $ X $, y $ A \subseteq C $, entonces la clausura de $ A $, denotada por $ \text{Cl}(A) $, también está contenida en $ C $: $$ A \subseteq C \ , \ C \text{ cerrado } \implies \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$

Esto se debe a que la clausura de $ A $ es el conjunto cerrado más pequeño que lo contiene. Como $ C $ ya es cerrado y contiene a $ A $, necesariamente debe contener también a $ \text{Cl}(A) $.

En otras palabras, $ \text{Cl}(A) $ no puede “salir” de los límites impuestos por $ C $.

Ejemplo ilustrativo
Demostración formal

Ejemplo ilustrativo

Consideremos el espacio topológico $ X = \mathbb{R} $, es decir, el conjunto de los números reales con la topología usual.

En esta topología, los conjuntos abiertos son precisamente los intervalos abiertos.

Tomemos el conjunto $ C = [0, 2] $, que es cerrado en $ \mathbb{R} $:

$$ C = [0,2] $$

Consideremos ahora un subconjunto de $ C $, por ejemplo el intervalo abierto $ A = (0, 1) $:

$$ A = (0,1) $$

Queremos determinar la clausura de $ A $.

Por definición, $\operatorname{Cl}(A)$ es el menor conjunto cerrado de $ \mathbb{R} $ que contiene a todos los puntos de $ A $.

En este caso, la clausura de $(0, 1)$ es $[0, 1]$, pues este conjunto cerrado incluye a todos los puntos de $ A $ junto con sus puntos de acumulación (0 y 1):

$$ \text{Cl}(A) = [0,1] $$

Ya que $ A \subseteq C $, es decir,

$$ A = (0, 1) \subseteq C = [0, 2] $$

entonces, de acuerdo con la propiedad enunciada, la clausura $\operatorname{Cl}(A)$ también debe estar contenida en $ C $:

$$ \text{Cl}(A) \subseteq C $$

Y en efecto, como $\operatorname{Cl}(A) = [0, 1]$, es claro que $[0, 1] \subseteq [0, 2]$:

$$ \text{Cl}(A) = [0,1] \subseteq [0,2] = C $$

Este ejemplo confirma que, si $ A \subseteq C $ y $ C $ es cerrado, entonces la clausura de $ A $ no puede exceder los límites de $ C $.

Demostración formal

Recordemos que si $ C $ es un conjunto cerrado en $ X $, su complemento $ X \setminus C $ es abierto por definición.

Supongamos ahora que $ A \subseteq C $.

La clausura de $ A $, denotada $\operatorname{Cl}(A)$, se define como la intersección de todos los conjuntos cerrados de $ X $ que contienen a $ A $.

Como $ C $ es cerrado y contiene a $ A $, forma parte de esta familia de conjuntos cuya intersección define $\operatorname{Cl}(A)$.

Por tanto, al ser $ \operatorname{Cl}(A) $ subconjunto de toda esa colección de cerrados, y dado que $ C $ pertenece a dicha colección, se concluye que:

$$ \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$

Dicho de forma más intuitiva: si $ C $ ya es cerrado y contiene a $ A $, y la clausura de $ A $ es simplemente el “más pequeño” de todos los conjuntos cerrados que cumplen esa propiedad, entonces no puede extenderse más allá de $ C $.

Y con ello queda demostrada la propiedad.