Teorema de Hausdorff sobre homeomorfismos
El teorema afirma que si \( f: X \to Y \) es un homeomorfismo y \( X \) es un espacio de Hausdorff, entonces \( Y \) también lo es.
Esto implica que ser un espacio de Hausdorff constituye una propiedad topológica que se conserva bajo homeomorfismos.
Dicho de otro modo, si existe una aplicación biyectiva y continua entre \( X \) y \( Y \), cuya inversa también es continua, y si \( X \) posee la propiedad de ser un espacio de Hausdorff (es decir, para cualquier par de puntos distintos existen entornos abiertos disjuntos que los contienen), entonces \( Y \) hereda dicha propiedad.
Este resultado se fundamenta en el hecho de que los homeomorfismos preservan las propiedades topológicas; por tanto, al ser Hausdorff una de ellas, \( Y \) la conserva al ser imagen homeomorfa de \( X \).
Nota: En numerosas referencias, este enunciado se presenta directamente como consecuencia del hecho de que la propiedad de Hausdorff es una propiedad topológica, y como tal, se mantiene invariante bajo homeomorfismos.
Un ejemplo práctico
Consideremos los siguientes espacios topológicos:
- \( X = \mathbb{R} \), la recta real con su topología estándar.
- \( Y = (0, 1) \), el intervalo abierto dotado de la topología inducida de \( \mathbb{R} \).
Definimos una función \( f: \mathbb{R} \to (0, 1) \) que transforma la recta real en el intervalo abierto \( (0, 1) \).
Un ejemplo clásico de tal función es la función sigmoide, que comprime todos los valores reales dentro del intervalo \( (0, 1) \):
$$ f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} $$
Esta función asigna a cada número real un valor en el intervalo \( (0, 1) \), sin alcanzar nunca los extremos.
Verifiquemos que \( f \) es un homeomorfismo:
- Continuidad: La función \( f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} \) es continua por ser composición de funciones continuas (exponenciales y racionales). Mapea \( \mathbb{R} \) de manera suave en el intervalo abierto \( (0, 1) \).
- Inyectividad: La función es estrictamente creciente, por lo que a cada \( x \in \mathbb{R} \) le corresponde un único valor \( f(x) \in (0, 1) \); es decir, es inyectiva.
- Continuidad de la inversa: La inversa está dada por: $$ f^{-1}(y) = \ln\left(\frac{y}{1 - y}\right) $$ Esta función también es continua, lo que confirma que \( f \) es un homeomorfismo.
Sabemos que \( \mathbb{R} \), con su topología estándar, es un espacio de Hausdorff.
Según el Teorema de Hausdorff, como \( f \) es un homeomorfismo, el intervalo \( (0, 1) \) también es un espacio de Hausdorff.
En conclusión, el intervalo abierto \( (0, 1) \) posee la propiedad de Hausdorff porque es homeomorfo a \( \mathbb{R} \), que ya la tiene.
Este ejemplo muestra cómo una aplicación continua y biyectiva entre \( \mathbb{R} \) y un intervalo abierto preserva la propiedad topológica de separación de Hausdorff.
Demostración del teorema
Partimos de las siguientes hipótesis:
- \( f : X \to Y \) es un homeomorfismo, es decir, una función biyectiva y continua cuya inversa también es continua.
- El espacio \( X \) es de Hausdorff.
Queremos demostrar que \( Y \) también es de Hausdorff. Es decir, que para cualesquiera \( y_1, y_2 \in Y \) con \( y_1 \ne y_2 \), existen entornos abiertos disjuntos que los contienen.
Como \( f \) es sobreyectiva, existen \( x_1, x_2 \in X \) tales que \( f(x_1) = y_1 \) y \( f(x_2) = y_2 \).
Como \( x_1 \ne x_2 \) y \( X \) es de Hausdorff, existen entornos abiertos disjuntos \( U_1 \) y \( U_2 \) en \( X \) que contienen respectivamente a \( x_1 \) y \( x_2 \).
La inyectividad de \( f \) garantiza que \( y_1 \ne y_2 \).
Dado que \( f \) es continua, las imágenes \( f(U_1) \) y \( f(U_2) \) son conjuntos abiertos en \( Y \). Además, contienen a \( y_1 \) y \( y_2 \), respectivamente.
Veamos ahora que \( f(U_1) \cap f(U_2) = \emptyset \). En efecto, si existiera un punto \( z \in f(U_1) \cap f(U_2) \), entonces existirían \( x_1' \in U_1 \) y \( x_2' \in U_2 \) tales que \( f(x_1') = f(x_2') = z \), lo que contradice la disjunción de \( U_1 \) y \( U_2 \), y la inyectividad de \( f \).
Por tanto, hemos encontrado entornos abiertos disjuntos en \( Y \) que contienen a \( y_1 \) y \( y_2 \).
Concluimos, entonces, que \( Y \) también es un espacio de Hausdorff.
Hemos demostrado que si \( f : X \to Y \) es un homeomorfismo y \( X \) es de Hausdorff, entonces \( Y \) también lo es.
Y así sucesivamente.
