Teorema de la continuidad respecto al cierre de un conjunto
Sea \( f : X \to Y \) una función continua y sea \( A \subset X \). Si un punto \( x \in X \) pertenece al cierre de \( A \), es decir, \( x \in Cl(A) \), entonces su imagen \( f(x) \) pertenece al cierre de la imagen de \( A \), es decir, \( f(x) \in Cl(f(A)) \).
En términos sencillos, el teorema afirma que la continuidad de \( f \) preserva la relación de pertenencia al cierre de un conjunto.
Es decir, si un punto \( x \) está "próximo" a \( A \) (en el sentido topológico de pertenecer a su cierre), entonces su imagen \( f(x) \) también estará próxima a \( f(A) \).
Ejemplo ilustrativo
Consideremos la función continua \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), dada por \( f(x) = x^2 \), en el espacio topológico \( X = \mathbb{R} \), y el conjunto \( A = (0, 2) \subseteq \mathbb{R} \).
$$ A = (0,2) $$
El cierre de \( A \) es \( Cl(A) = [0, 2] \), ya que incluye los puntos frontera \( x = 0 \) y \( x = 2 \), que no pertenecen a \( A \), pero son puntos de acumulación.
$$ Cl(A) = [0,2] $$
La imagen de \( A \) bajo \( f \), es decir, \( f(A) = (0, 4) \), ya que \( x^2 \) toma valores estrictamente entre \( 0 \) y \( 4 \) cuando \( x \in (0, 2) \).
$$ f(A) = (0,4) $$
El cierre de \( f(A) \) es el intervalo cerrado \( Cl(f(A)) = [0, 4] \), puesto que añadimos los extremos \( 0 \) y \( 4 \), correspondientes a los valores límite de \( f(x) \) cuando \( x \to 0 \) y \( x \to 2 \), respectivamente.
$$ Cl(f(A)) = [0,4] $$
El teorema garantiza que, si \( x \in Cl(A) \), entonces \( f(x) \in Cl(f(A)) \).
- Para \( x = 0 \in Cl(A) \), se tiene \( f(0) = 0 \in Cl(f(A)) \).
- Para \( x = 2 \in Cl(A) \), se tiene \( f(2) = 4 \in Cl(f(A)) \).
- Para todo \( 0 < x < 2 \in Cl(A) \), también se cumple que \( f(x) \in Cl(f(A)) \).
Esto confirma el teorema: la imagen de cualquier punto perteneciente al cierre de \( A \) también pertenece al cierre de la imagen \( f(A) \).
Demostración
Sea \( f : X \to Y \) una función continua, con \( x \in X \) y \( A \subset X \).
Supongamos, por contradicción, que \( f(x) \notin Cl(f(A)) \).
$$ f(x) \notin Cl(f(A)) $$
Entonces existe un entorno abierto \( B \subseteq Y \) tal que \( f(x) \in B \) y \( B \cap f(A) = \emptyset \).
Esto se deduce directamente de la definición de cierre: si un punto no pertenece al cierre de un conjunto, debe existir un entorno abierto que lo contenga y que no interseque el conjunto.
Dado que \( f \) es continua, la preimagen \( f^{-1}(B) \) es un entorno abierto de \( x \) en \( X \).
Además, como \( B \cap f(A) = \emptyset \), se deduce que \( f^{-1}(B) \cap A = \emptyset \).
Es decir, existe un entorno abierto de \( x \) que no contiene ningún punto de \( A \), lo cual implica que \( x \notin Cl(A) \).
Por lo tanto, si \( f(x) \notin Cl(f(A)) \), entonces \( x \notin Cl(A) \).
Nota: Esta demostración se apoya en el hecho de que la continuidad de \( f \) garantiza que la preimagen de un entorno abierto es abierta. Así, si \( f(x) \) no es adherente a \( f(A) \), entonces \( x \) tampoco puede ser adherente a \( A \).
Y así concluye la prueba.
