Teorema de la continuidad y sucesiones convergentes

Si $ f: X \to Y $ es una función continua y $ (x_n) $ es una sucesión en $ X $ que converge a un punto $ x $, entonces la sucesión de imágenes $ f(x_1), f(x_2), \dots $ converge a $ f(x) $ en $ Y $.

En otras palabras, una función continua preserva la convergencia de las sucesiones.

Si los términos de $ (x_n) $ se aproximan a $ x $, entonces los valores $ f(x_n) $ se aproximan a $ f(x) $.

Ejemplo ilustrativo
Demostración

Ejemplo ilustrativo

Consideremos la función $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ definida por $ f(x) = 2x $, y la sucesión $ x_n = \frac{1}{n} $, con $ n \in \mathbb{N} $.

La sucesión $ (x_n) $ converge a $ 0 $ cuando $ n \to \infty $.

Los primeros términos son: $ x_1 = 1 $, $ x_2 = \frac{1}{2} $, $ x_3 = \frac{1}{3} $, y así sucesivamente.

Es evidente que $ x_n \to 0 $ a medida que $ n $ tiende a infinito.

Evaluamos ahora la función $ f $ en cada término de la sucesión:

$$ f(x_1) = f(1) = 2 $$

$$ f(x_2) = f\left(\frac{1}{2}\right) = 1 $$

$$ f(x_3) = f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} $$

$$ \dots $$

La sucesión transformada $ f(x_n) = 2x_n $ es $ 2, 1, \frac{2}{3}, \dots $, la cual converge a $ 0 $.

En efecto, $ (f(x_n)) \to f(0) = 0 $, tal como afirma el teorema.

La función continua, por tanto, ha preservado la convergencia de la sucesión original.

Demostración

Demostraremos que $ f(x_n) \to f(x) $, partiendo del supuesto de que $ f $ es continua y que $ (x_n) \to x $ en $ X $.

La continuidad garantiza que la preimagen de cualquier conjunto abierto en $ Y $ es un conjunto abierto en $ X $.

Utilizaremos esta propiedad para probar que, dado un entorno arbitrario $ U $ de $ f(x) $, los términos $ f(x_n) $ acaban por estar contenidos en $ U $ para valores suficientemente grandes de $ n $.

Paso 1: Entorno arbitrario de $ f(x) $

Sea $ U $ un entorno abierto de $ f(x) $ en $ Y $.

Queremos probar que existe $ N \in \mathbb{N} $ tal que, para todo $ n \geq N $, se tiene $ f(x_n) \in U $.

Paso 2: Preimagen de $ U $ por $ f $

Dado que $ f $ es continua, la preimagen $ f^{-1}(U) $ es un conjunto abierto en $ X $.

Además, como $ f(x) \in U $, se sigue que $ x \in f^{-1}(U) $.

Paso 3: Convergencia de $ x_n \to x $

Como $ (x_n) $ converge a $ x $, para cualquier entorno abierto de $ x $, en particular para $ f^{-1}(U) $, existe un índice $ N $ tal que $ x_n \in f^{-1}(U) $ para todo $ n \geq N $.

Paso 4: Conclusión

Por tanto, para todo $ n \geq N $, se cumple que $ f(x_n) \in U $.

Esto implica que $ (f(x_n)) \to f(x) $, lo que concluye la demostración.

Así pues, toda función continua preserva la convergencia de sucesiones: si $ x_n \to x $, entonces $ f(x_n) \to f(x) $.