Teorema sobre la composición de funciones continuas
Si \( f: X \to Y \) y \( g: Y \to Z \) son funciones continuas, entonces su composición \( g \circ f: X \to Z \) también es continua.
Este teorema establece que si se tienen dos funciones continuas, \( f \) y \( g \), con:
- \( f: X \to Y \)
- \( g: Y \to Z \)
entonces la función compuesta \( g \circ f \), obtenida al aplicar primero \( f \) y luego \( g \), resulta ser continua.
En otras palabras, componer dos funciones continuas da como resultado otra función continua.
Ejemplo ilustrativo
Veamos un ejemplo concreto de composición \( g \circ f(x) \), donde \( f \) es la función interna y \( g \) la externa.
$$ f(x) = x^2 \quad \text{definida en} \quad \mathbb{R} $$
$$ g(y) = \frac{y}{2} \quad \text{definida en} \quad \mathbb{R} $$
Ambas funciones son continuas en todo \( \mathbb{R} \).
Queremos comprobar si la composición \( g \circ f(x) \) es continua en \( \mathbb{R} \).
Consideremos el intervalo abierto \( (-2, 2) \subset \mathbb{R} \).
La imagen de este intervalo mediante \( f \) es el intervalo \( (0, 4) \), ya que \( f(x) = x^2 \) toma únicamente valores positivos.
Este conjunto imagen pasa a ser el dominio de entrada para la función \( g \), es decir, el codominio de \( f \) coincide con el dominio de \( g \).
La imagen de \( (0, 4) \) bajo \( g \) es \( (0, 2) \), que sigue siendo un intervalo abierto.
Por tanto, la preimagen de \( (0, 2) \) mediante la función compuesta \( g \circ f(x) = \frac{x^2}{2} \) es también un conjunto abierto.
Esto confirma que la función compuesta cumple la condición de continuidad en ese intervalo.
Como este razonamiento se puede aplicar a cualquier conjunto abierto de \( \mathbb{R} \), concluimos que \( g \circ f \) es continua en todo \( \mathbb{R} \).
Demostración formal
Vamos a demostrar rigurosamente que la composición de dos funciones continuas es también continua.
- \( f: X \to Y \)
- \( g: Y \to Z \)
Sea \( U \subseteq Z \) un conjunto abierto. Para que \( g \circ f \) sea continua, debemos demostrar que la preimagen \( (g \circ f)^{-1}(U) \) es un conjunto abierto en \( X \).
Dado que \( g \) es continua, \( g^{-1}(U) \) es un conjunto abierto en \( Y \).
Como \( f \) también es continua, la preimagen \( f^{-1}(g^{-1}(U)) \) es abierta en \( X \).
Pero esta preimagen compuesta no es otra cosa que \( (g \circ f)^{-1}(U) \), por lo que dicho conjunto es abierto en \( X \).
Esto demuestra que \( g \circ f \) es continua, ya que cumple la definición de continuidad: la preimagen de todo conjunto abierto es abierta.
