Una función continua no es necesariamente una aplicación abierta
Una función continua \( f: X \to Y \) no necesariamente lleva conjuntos abiertos de \( X \) a conjuntos abiertos de \( Y \).
La continuidad no implica la conservación de conjuntos abiertos, a diferencia de lo que ocurre con las aplicaciones abiertas.
Así pues, una función continua no es necesariamente una aplicación abierta.
¿Qué es una aplicación abierta? Una aplicación abierta \( f: X \to Y \) es aquella que lleva cualquier conjunto abierto de \( X \) en un conjunto abierto de \( Y \).
En otras palabras, no todas las funciones continuas son abiertas. Que una función sea continua no garantiza que la imagen de un conjunto abierto en el dominio sea también abierta en el codominio.
Un ejemplo práctico
Consideremos la función \( f(x) = x^2 \), que es continua en \( \mathbb{R} \).
Tomemos el conjunto abierto \( (-2, 2) \) en \( \mathbb{R} \), que contiene todos los números reales comprendidos entre \( -2 \) y \( 2 \).
Aplicamos ahora la función \( f = x^2 \) a este conjunto.
$$ f(-2) = (-2)^2 = 4 \\ f(0) = 0^2 = 0 \\ f(2) = 2^2 = 4 $$
La imagen de \( (-2, 2) \) mediante \( f(x) = x^2 \) es el intervalo \( [0, 4) \), que no es un conjunto abierto.
De hecho, el \( 0 \) pertenece al intervalo, pero no existe un entorno de \( 0 \) contenido íntegramente en \( [0, 4) \), ya que \( 0 \) es un extremo cerrado.
Esto pone de manifiesto que, aunque \( f(x) = x^2 \) es una función continua, no transforma el conjunto abierto \( (-2, 2) \) en un conjunto abierto, tal y como cabría esperar.
Por tanto, aunque \( f(x) = x^2 \) sea continua en todos los puntos de su dominio, no constituye una aplicación abierta.
Diferencia entre funciones continuas y aplicaciones abiertas
Los conceptos de continuidad y apertura se diferencian en la manera en que preservan los conjuntos abiertos.
- Función continua (en términos de conjuntos abiertos)
Una función \( f: X \to Y \) es continua si la preimagen de cualquier conjunto abierto de \( Y \) es un conjunto abierto en \( X \). Es decir, dado un conjunto abierto \( U \) en el codominio \( Y \), su preimagen \( f^{-1}(U) \) debe ser abierta en el dominio \( X \).La continuidad garantiza que al "tirar hacia atrás" conjuntos abiertos desde el codominio \( Y \) mediante \( f \), siempre se obtienen conjuntos abiertos en el dominio \( X \). La continuidad se ocupa exclusivamente de cómo se comportan los conjuntos abiertos del codominio cuando se trasladan al dominio, sin considerar lo que ocurre al trasladar conjuntos abiertos del dominio al codominio.
- Aplicaciones abiertas (funciones abiertas)
Una función \( f: X \to Y \) es abierta si lleva conjuntos abiertos de \( X \) a conjuntos abiertos de \( Y \). Es decir, dado un conjunto abierto \( V \) en el dominio \( X \), su imagen \( f(V) \) debe ser un conjunto abierto en \( Y \).La apertura se centra en trasladar conjuntos abiertos desde el dominio al codominio, es decir, en que la imagen de cualquier conjunto abierto de \( X \) sea también un conjunto abierto en \( Y \). Sin embargo, ser una aplicación abierta no implica ninguna condición sobre las preimágenes de conjuntos abiertos.
En resumen: la continuidad trata de "tirar hacia atrás" conjuntos abiertos, mientras que la apertura se ocupa de "empujarlos hacia adelante". Son propiedades que operan de forma distinta.
Y así sucesivamente.
