Unión de Conjuntos Abiertos en la Topología Cociente

Dada una colección de conjuntos abiertos $ U_i $ en la topología cociente $ Q $, la preimagen de su unión coincide con la unión de las preimágenes, las cuales son conjuntos abiertos en la topología original $ X $: $$ p^{-1}\left( \bigcup U_i \right) = \bigcup p^{-1}(U_i) $$ En consecuencia, la unión de conjuntos abiertos es también un conjunto abierto en la topología cociente.

Un Ejemplo Ilustrativo

Consideremos el conjunto de los números reales $ \mathbb{R} $ y definamos sobre él una topología cociente mediante la aplicación $ p: \mathbb{R} \to \mathbb{R}/\mathbb{Z} $, que asigna a cada real $ x \in \mathbb{R} $ su clase de equivalencia módulo 1.

En términos más simples, la imagen de un número real bajo $ p $ corresponde a su parte fraccionaria.

Por ejemplo, mediante la aplicación $ p $, los números 0.3, 1.3, 2.3, etc., se identifican todos con 0.3 en la topología cociente.

representación gráfica de R mod Z

Así, el espacio cociente $ Q $ se puede visualizar como un círculo cuyos puntos corresponden a los números reales en el intervalo [0,1), es decir, desde 0 (incluido) hasta 1 (excluido).

Consideremos ahora una colección de conjuntos abiertos en $ Q = \mathbb{R}/\mathbb{Z} $. Por ejemplo:

$ U_1 = (0.1, 0.4) $
$ U_2 = (0.6, 0.8) $

Estos conjuntos son abiertos en el espacio cociente $ Q $, que podemos entender como subconjuntos abiertos del círculo descrito.

Analicemos qué sucede al tomar la unión de estos dos conjuntos abiertos en la topología cociente.

La preimagen de $ U_1 $ mediante $ p $ es la unión de todos los intervalos abiertos correspondientes: \[ p^{-1}(U_1) = (0.1, 0.4) \cup (1.1, 1.4) \cup (2.1, 2.4) \cup \dots \]
De modo análogo, la preimagen de $ U_2 $ mediante $ p $ es: \[ p^{-1}(U_2) = (0.6, 0.8) \cup (1.6, 1.8) \cup (2.6, 2.8) \cup \dots \]

La unión de los conjuntos $ U_1 $ y $ U_2 $ en el intervalo [0,1) de $ Q $ es:

$$ U_1 \cup U_2 = (0.1, 0.4) \cup (0.6, 0.8) $$

La preimagen de esta unión se obtiene uniendo las preimágenes individuales:

$$ p^{-1}(U_1 \cup U_2) = p^{-1}(U_1) \cup p^{-1}(U_2) $$

Esto se traduce en:

$$ p^{-1}(U_1 \cup U_2) = (0.1, 0.4) \cup (0.6, 0.8) \cup (1.1, 1.4) \cup (1.6, 1.8) \cup \dots $$

La unión de estas preimágenes constituye una colección de intervalos abiertos en $ \mathbb{R} $, lo cual implica que se trata de un conjunto abierto en la topología de $ \mathbb{R} $.

Por tanto, la unión $ U_1 \cup U_2 $ es también un conjunto abierto en la topología cociente sobre $ A = \mathbb{R}/\mathbb{Z} $.

Y así sucesivamente.