Unión del borde y del interior de un conjunto
La unión del borde \( \partial A \) de un conjunto con su interior \( \text{Int}(A) \) coincide con su clausura: $$ \partial A \cup \text{Int}(A) = \text{Cl}(A) $$
Ejemplo
Consideremos el conjunto \( A = (0, 1) \) en el espacio topológico \(\mathbb{R}\) provisto de la topología usual:
El interior de \(A\) es el intervalo abierto \( (0, 1) \):
$$ \text{Int}(A) = (0, 1) $$
La clausura de \(A\) es el intervalo cerrado \( [0, 1] \), que incluye también los puntos frontera:
$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$
El borde de \(A\) está constituido por los extremos del intervalo:
$$ \partial A = \{0, 1\} $$
La unión del borde y del interior de \(A\) produce exactamente su clausura:
$$ \partial A \cup \text{Int}(A) = \{0, 1\} \cup (0, 1) = [0, 1] $$
$$ \partial A \cup \text{Int}(A) = \text{Cl}(A) $$
Este resultado ilustra que todos los puntos pertenecientes a la clausura de un conjunto pueden clasificarse como puntos interiores o bien como puntos de su borde.
Demostración
Para establecer formalmente esta igualdad, recordemos las siguientes definiciones fundamentales:
- Interior de \(A\) (\( \text{Int}(A) \))
Es el conjunto de los puntos de \(A\) que poseen un entorno completamente contenido en \(A\). - Clausura de \(A\) (\( \text{Cl}(A) \))
Es el menor conjunto cerrado que contiene a \(A\); incluye todos los puntos de \(A\) junto con sus puntos de acumulación. Se puede expresar como:
\[ \text{Cl}(A) = A \cup \partial A \] - Borde de \(A\) (\( \partial A \))
Está formado por los puntos que pertenecen simultáneamente a la clausura de \(A\) y a la clausura de su complemento:
\[ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X - A) \]
Sea \(A \subseteq X\) un conjunto cualquiera en un espacio topológico.
Por definición, la clausura de \(A\) puede descomponerse como:
$$ \text{Cl}(A) = \text{Int}(A) \cup \partial A $$
Además, se sabe que el interior de \(A\) y su borde son disjuntos:
$$ \text{Int}(A) \cap \partial A = \emptyset $$
Por lo tanto, la unión del interior y del borde de \(A\) recupera exactamente su clausura:
$$ \text{Cl}(A) = \text{Int}(A) \cup \partial A $$
Q.E.D.
