Charakteryzacja ciągłości odwzorowań za pomocą zbiorów domkniętych
Niech \( X \) i \( Y \) będą przestrzeniami topologicznymi. Odwzorowanie \( f : X \to Y \) jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz każdego zbioru domkniętego \( C \subseteq Y \) jest zbiorem domkniętym w \( X \).
To twierdzenie daje inne, ale w pełni równoważne spojrzenie na ciągłość funkcji między przestrzeniami topologicznymi. Zamiast pracować ze zbiorami otwartymi, możemy posługiwać się zbiorami domkniętymi, co w wielu sytuacjach okazuje się wygodniejsze.
W klasycznym ujęciu funkcja jest ciągła wtedy, gdy przeciwobraz każdego zbioru otwartego w \( Y \) jest zbiorem otwartym w \( X \).
Można jednak sformułować tę własność inaczej: odwzorowanie \( f : X \to Y \) jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru domkniętego \( C \subseteq Y \) jego przeciwobraz \( f^{-1}(C) \) jest zbiorem domkniętym w \( X \).
Uwaga : Ta własność dobrze pokazuje związek między zbiorami otwartymi i domkniętymi. Każdy zbiór domknięty jest dopełnieniem zbioru otwartego i odwrotnie, dlatego obie definicje ciągłości są równoważne.
Przykład
Rozważmy funkcję \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) daną wzorem \( f(x) = x^2 \), gdzie \( \mathbb{R} \) ma topologię standardową (euklidesową). W tej topologii zbiory otwarte to między innymi przedziały otwarte oraz ich sumy.
$$ f(x) = x^2 $$
Sprawdźmy, jak działa definicja z użyciem zbiorów domkniętych.
Weźmy zbiór domknięty \( C = [1, +\infty) \subseteq Y \).
Jego przeciwobraz przez funkcję \( f \) to:
$$ f^{-1}(C) = \{ x \in \mathbb{R} : x^2 \in [1, +\infty) \} = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) $$
Otrzymujemy zbiór będący sumą dwóch przedziałów domkniętych, a więc zbiór domknięty w \( \mathbb{R} \).
Widzimy więc, że przeciwobraz zbioru domkniętego jest zbiorem domkniętym. Ten sam mechanizm działa dla dowolnego zbioru domkniętego, co prowadzi do wniosku, że funkcja \( f(x) = x^2 \) jest ciągła.
Dowód
Przejdźmy teraz do dowodu ogólnego. Składa się on z dwóch części, odpowiadających obu implikacjom.
1] (⇒) Jeśli \( f \) jest ciągła, to przeciwobraz każdego zbioru domkniętego jest domknięty:
Z definicji ciągłości wiemy, że przeciwobraz każdego zbioru otwartego w \( Y \) jest otwarty w \( X \).
Niech \( C \subseteq Y \) będzie zbiorem domkniętym. Wtedy jego dopełnienie \( Y \setminus C \) jest zbiorem otwartym.
Ponieważ \( f \) jest ciągła, zbiór \( f^{-1}(Y \setminus C) \) jest otwarty w \( X \).
Zachodzi równość:
\( f^{-1}(Y \setminus C) = X \setminus f^{-1}(C) \)
To oznacza, że dopełnienie zbioru \( f^{-1}(C) \) jest otwarte, a więc sam zbiór \( f^{-1}(C) \) jest domknięty.
2] (⇐) Jeśli przeciwobraz każdego zbioru domkniętego jest domknięty, to \( f \) jest ciągła:
Załóżmy teraz, że dla każdego zbioru domkniętego \( C \subseteq Y \) zbiór \( f^{-1}(C) \) jest domknięty w \( X \).
Weźmy dowolny zbiór otwarty \( U \subseteq Y \). Jego dopełnienie \( Y \setminus U \) jest zbiorem domkniętym.
Z założenia wynika, że \( f^{-1}(Y \setminus U) \) jest domknięty w \( X \).
Ponownie korzystamy z równości:
\( f^{-1}(Y \setminus U) = X \setminus f^{-1}(U) \)
Stąd wynika, że \( f^{-1}(U) \) jest zbiorem otwartym w \( X \), czyli funkcja \( f \) jest ciągła.
Wniosek
Obie implikacje zostały udowodnione. Otrzymujemy więc równoważność: funkcja \( f : X \to Y \) jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz każdego zbioru domkniętego w \( Y \) jest zbiorem domkniętym w \( X \).
To kończy dowód.
