Osadzenia topologiczne

W topologii osadzenie topologiczne to ciągłe i różnowartościowe odwzorowanie \( f: X \rightarrow Y \) pomiędzy dwiema przestrzeniami topologicznymi \( X \) i \( Y \), takie że \( f \) wyznacza homeomorfizm między przestrzenią \( X \) a jej obrazem \( f(X) \), wyposażonym w topologię indukowaną przez przestrzeń \( Y \).

Mówiąc prościej, osadzenie pozwala „umieścić” jedną przestrzeń topologiczną wewnątrz drugiej w taki sposób, aby zachować wszystkie jej własności topologiczne.

Aby odwzorowanie było osadzeniem, musi spełniać trzy warunki:

1. \( f \) musi być ciągłe;
2. \( f \) musi być różnowartościowe, czyli różnym punktom przestrzeni \( X \) przyporządkowywać różne punkty przestrzeni \( Y \);
3. odwzorowanie odwrotne \( f^{-1} \), określone na obrazie \( f(X) \), również musi być ciągłe względem topologii indukowanej na \( f(X) \).

Oznacza to, że struktura topologiczna przestrzeni \( X \) zostaje zachowana wewnątrz obrazu \( f(X) \). Dzięki temu obraz można traktować jako podprzestrzeń topologiczną przestrzeni \( Y \).

Przykład osadzenia topologicznego

Rozważmy dwie przestrzenie topologiczne:

• Przestrzeń \( X \)
  Niech \( X = \{a, b, c\} \), a topologia na tym zbiorze będzie dana przez: $$ \mathcal{T}_X = \{\emptyset, \{a\}, \{a, b\}, X\} $$ Są to wszystkie zbiory otwarte przestrzeni \( X \).
• Przestrzeń \( Y \)
  Niech \( Y = \{1, 2, 3, 4\} \), wyposażone w topologię: $$ \mathcal{T}_Y = \{\emptyset, \{1\}, \{1, 2\}, \{1, 2, 3\}, Y\} $$ Są to zbiory otwarte przestrzeni \( Y \).

Zdefiniujmy teraz odwzorowanie \( f: X \rightarrow Y \):

$$ f(a) = 1 \\ f(b) = 2 \\ f(c) = 3 $$

Sprawdźmy krok po kroku, czy odwzorowanie \( f \) jest osadzeniem topologicznym.

1. Ciągłość odwzorowania

Odwzorowanie \( f: X \rightarrow Y \) jest ciągłe (zobacz definicję ciągłości za pomocą zbiorów otwartych), jeśli przeciwobraz każdego zbioru otwartego w \( Y \) jest zbiorem otwartym w \( X \).

Sprawdźmy wszystkie zbiory otwarte przestrzeni \( Y \):

• \( f^{-1}(\emptyset) = \emptyset \in \mathcal{T}_X \)
• \( f^{-1}(\{1\}) = \{a\} \in \mathcal{T}_X \)
• \( f^{-1}(\{1, 2\}) = \{a, b\} \in \mathcal{T}_X \)
• \( f^{-1}(\{1, 2, 3\}) = X \in \mathcal{T}_X \)
• \( f^{-1}(Y) = X \in \mathcal{T}_X \)

Każdy przeciwobraz jest więc zbiorem otwartym w \( X \). Z tego wynika, że odwzorowanie \( f \) jest ciągłe.

2. Różnowartościowość

Odwzorowanie \( f \) jest różnowartościowe, ponieważ różnym elementom przestrzeni \( X \) przyporządkowuje różne elementy przestrzeni \( Y \):

$$ f(a) = 1 \\ f(b) = 2 \\ f(c) = 3 $$

Żadne dwa punkty przestrzeni \( X \) nie mają tego samego obrazu.

3. Ciągłość odwzorowania odwrotnego

Obraz odwzorowania \( f \) ma postać:

$$ f(X) = \{1, 2, 3\} \subset Y $$

Na zbiorze \( f(X) \) rozpatrujemy topologię indukowaną przez przestrzeń \( Y \):

$$ \mathcal{T}_{f(X)} = \{\emptyset, \{1\}, \{1, 2\}, \{1, 2, 3\}\} $$

Sprawdźmy teraz ciągłość odwzorowania odwrotnego \( f^{-1}: f(X) \rightarrow X \).

W tym celu musimy sprawdzić, czy przeciwobrazy zbiorów otwartych z \( \mathcal{T}_X \) są otwarte w \( \mathcal{T}_{f(X)} \):

• przeciwobraz zbioru \( \emptyset \) jest równy \( \emptyset \);
• przeciwobraz zbioru \( \{a\} \) jest równy \( \{1\} \);
• przeciwobraz zbioru \( \{a, b\} \) jest równy \( \{1, 2\} \);
• przeciwobraz zbioru \( X \) jest równy \( \{1, 2, 3\} \).

Wszystkie te zbiory należą do topologii \( \mathcal{T}_{f(X)} \), więc odwzorowanie odwrotne jest ciągłe.

Wniosek

Odwzorowanie \( f \) jest osadzeniem topologicznym przestrzeni \( X \) w przestrzeni \( Y \), ponieważ:

• jest ciągłe;
• jest różnowartościowe;
• jego odwzorowanie odwrotne, określone na obrazie \( f(X) \), również jest ciągłe.

Mimo że obraz \( f(X) = \{1, 2, 3\} \) nie pokrywa całej przestrzeni \( Y \), zachowuje on dokładnie tę samą strukturę topologiczną co przestrzeń \( X \).

Osadzenie a homeomorfizm

Osadzenie i homeomorfizm są ze sobą ściśle związane, ale nie oznaczają tego samego.

• Homeomorfizm
  Homeomorfizm jest ciągłą bijekcją, której odwzorowanie odwrotne również jest ciągłe. Oznacza to, że przestrzenie \( X \) i \( Y \) są topologicznie równoważne.
• Osadzenie
  Osadzenie zachowuje strukturę topologiczną przestrzeni \( X \), ale jedynie wewnątrz obrazu \( f(X) \), który stanowi podprzestrzeń przestrzeni \( Y \).

Można więc powiedzieć, że homeomorfizm identyfikuje całe przestrzenie topologiczne, natomiast osadzenie opisuje sposób „umieszczenia” jednej przestrzeni wewnątrz drugiej bez utraty jej własności topologicznych.

I tak dalej...