Ciągłość odwzorowania ilorazowego
W topologii ilorazowej odwzorowanie surjektywne \( f : X \to A \) jest z definicji ciągłe. Oznacza to, że podzbiór \( V \subseteq A \) jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jego przeciwobraz \( f^{-1}(V) \) jest zbiorem otwartym w przestrzeni \( X \).
Załóżmy, że \( X \) jest przestrzenią topologiczną, a \( f : X \to A \) odwzorowaniem surjektywnym. Zbiór \( A \) traktujemy tutaj jako dowolny zbiór, niekoniecznie będący podzbiorem \( X \).
Topologia ilorazowa na zbiorze \( A \) jest konstruowana dokładnie w tym celu, aby odwzorowanie \( f \) było ciągłe. Innymi słowy, to nie ciągłość jest tu własnością do sprawdzenia, lecz konsekwencją przyjętej definicji.
Dokładniej, w topologii ilorazowej podzbiór \( V \subseteq A \) uznajemy za otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jego przeciwobraz \( f^{-1}(V) \) jest otwarty w \( X \). W ten sposób struktura topologiczna na \( A \) jest w pełni „przeniesiona” z przestrzeni \( X \) za pomocą odwzorowania \( f \).
Uwaga : Ponieważ definicja topologii ilorazowej opiera się bezpośrednio na otwartości przeciwobrazów, ciągłość odwzorowania \( f \) wynika natychmiast, bez potrzeby dodatkowych dowodów.
Przykład
Rozważmy prosty przykład. Niech \( X = \{a, b, c\} \) będzie przestrzenią złożoną z trzech różnych elementów.
Zdefiniujmy odwzorowanie surjektywne \( f : X \to A \), gdzie \( A = \{1, 2\} \), w następujący sposób:
- \( f(a) = f(b) = 1 \)
- \( f(c) = 2 \)
Odwzorowanie \( f \) „scala” punkty \( a \) i \( b \), przypisując im ten sam obraz w zbiorze \( A \).
W topologii ilorazowej zbiór \( V \subseteq A \) jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jego przeciwobraz \( f^{-1}(V) \) jest otwarty w \( X \).
Na przykład dla \( V = \{1\} \subseteq A \) mamy \( f^{-1}(\{1\}) = \{a, b\} \). Jeśli zbiór \( \{a, b\} \) jest otwarty w \( X \), to również \( V \) jest otwarty w \( A \).
Zbiory otwarte w \( A \) to w tym przypadku: \( \emptyset \), \( \{1, 2\} \) oraz \( \{2\} \).
- \( f^{-1}(\emptyset) = \emptyset \), który jest otwarty w każdej topologii
- \( f^{-1}(\{1, 2\}) = X \), czyli cały zbiór \( \{a, b, c\} \), a więc zbiór otwarty
- \( f^{-1}(\{1\}) = \{a, b\} \), zbiór otwarty w \( X \)
- \( f^{-1}(\{2\}) = \{c\} \), również zbiór otwarty w \( X \)
Widzimy więc wyraźnie, że każdy zbiór otwarty w \( A \) ma przeciwobraz otwarty w \( X \). To właśnie ta własność sprawia, że odwzorowanie \( f \) jest ciągłe.
Podsumowując, ciągłość odwzorowania ilorazowego nie jest dodatkowym założeniem, lecz bezpośrednią konsekwencją definicji topologii ilorazowej.
I tak dalej.
