Ciągłość odwzorowania włączenia w topologii

Niech \( X \) będzie przestrzenią topologiczną, a \( Y \subset X \) jej podprzestrzenią. Odwzorowanie włączenia \( f : Y \to X \) definiujemy wzorem \( f(y) = y \) dla każdego \( y \in Y \). Tak zdefiniowane odwzorowanie jest ciągłe.

Odwzorowanie włączenia to jedno z najprostszych, a zarazem fundamentalnych pojęć w topologii. Każdemu elementowi zbioru \( Y \) przypisuje ono dokładnie ten sam element, ale traktowany jako punkt większej przestrzeni \( X \).

Można powiedzieć, że funkcja \( f \) „osadza" punkty z \( Y \) w przestrzeni \( X \), nie zmieniając ich w żaden sposób. Zmienia się jedynie kontekst, w którym je rozpatrujemy.

Uwaga : Nie należy mylić odwzorowania włączenia z odwzorowaniem identycznościowym. Choć oba opierają się na tej samej regule przyporządkowania, włączenie działa między dwiema różnymi przestrzeniami (podprzestrzenią i przestrzenią wyjściową), natomiast identyczność jest określona w obrębie jednej i tej samej przestrzeni.

Dlaczego odwzorowanie włączenia jest ciągłe?

W topologii ciągłość definiuje się w następujący sposób: odwzorowanie jest ciągłe, jeśli przeciwobraz każdego zbioru otwartego jest zbiorem otwartym.

Oznacza to, że dla każdego zbioru otwartego \( U \subset X \) zbiór \( f^{-1}(U) \) musi być otwarty w \( Y \).

W przypadku odwzorowania włączenia sytuacja jest wyjątkowo prosta. Z definicji topologii podprzestrzeni wiemy, że zbiory otwarte w \( Y \) to dokładnie przecięcia zbiorów otwartych w \( X \) ze zbiorem \( Y \).

$$ f^{-1}(U) = U \cap Y $$

A więc przeciwobraz dowolnego zbioru otwartego \( U \) w \( X \) jest po prostu jego przecięciem z \( Y \), czyli zbiorem, który z definicji jest otwarty w \( Y \).

To prowadzi bezpośrednio do wniosku: odwzorowanie włączenia jest zawsze ciągłe.

Uwaga : Warto zauważyć, że topologia podprzestrzeni została skonstruowana właśnie w taki sposób, aby własność ta była spełniona automatycznie.

Przykład

Rozważmy przestrzeń topologiczną \( X = \mathbb{R} \), czyli prostą rzeczywistą, oraz jej podprzestrzeń \( Y = (0, 1) \), czyli przedział otwarty między 0 a 1.

Odwzorowanie włączenia \( f : Y \to X \) jest dane wzorem:

$$ f(y) = y \quad \text{dla każdego} \quad y \in (0,1) $$

W praktyce oznacza to, że punkty z przedziału \( (0,1) \) traktujemy po prostu jako punkty całej prostej rzeczywistej.

Sprawdźmy teraz warunek ciągłości. Weźmy dowolny zbiór otwarty w \( X \), na przykład:

$$ U = (-1, 0{,}5) $$

Przecinając ten zbiór z \( Y = (0,1) \), otrzymujemy:

$$ U \cap Y = (-1, 0{,}5) \cap (0, 1) = (0, 0{,}5) $$

Jest to zbiór otwarty w \( Y \), zgodnie z definicją topologii podprzestrzeni.

Widzimy więc wyraźnie, że przeciwobraz zbioru otwartego pozostaje otwarty. A to oznacza, że odwzorowanie włączenia \( f : Y \to X \) jest ciągłe.

Ten prosty przykład dobrze ilustruje ogólną własność: odwzorowanie włączenia jest zawsze ciągłe, niezależnie od wyboru przestrzeni i podprzestrzeni.