Ciągłość złożenia funkcji

Jeśli $ f : X \to Y $ oraz $ g : Y \to Z $ są funkcjami ciągłymi, to ich złożenie $ g \circ f : X \to Z $ również jest funkcją ciągłą.

Jedną z podstawowych własności funkcji ciągłych jest to, że zachowują się stabilnie przy składaniu. Oznacza to, że jeśli mamy dwie funkcje ciągłe:

$ f : X \to Y $
$ g : Y \to Z $

to funkcja złożona $ g \circ f $, powstająca przez najpierw zastosowanie $ f $, a następnie $ g $, również jest ciągła.

W praktyce oznacza to, że nie „tracimy” ciągłości, przechodząc od jednej funkcji do drugiej. Ta własność ma kluczowe znaczenie w analizie matematycznej i jest często wykorzystywana w dowodach oraz konstrukcjach bardziej złożonych funkcji.

Przykład
Dowód

Przykład

Rozważmy konkretny przykład, który dobrze ilustruje działanie tego twierdzenia. Weźmy funkcje:

$$ f(x) = x^2 \quad \text{określona na} \quad \mathbb{R} $$

$$ g(y) = \frac{y}{2} \quad \text{określona na} \quad \mathbb{R} $$

Obie funkcje są ciągłe na zbiorze liczb rzeczywistych.

Sprawdźmy teraz ciągłość funkcji złożonej $ g \circ f(x) $.

Weźmy przedział otwarty $ (-2, 2) \subset \mathbb{R} $.

Obraz tego przedziału przez funkcję $ f $ jest równy $ (0, 4) $, ponieważ dla każdego $ x \in (-2,2) $ mamy:

$$ 0 < x^2 < 4 $$

Otrzymany zbiór $ (0, 4) $ w całości mieści się w dziedzinie funkcji $ g $, więc możemy zastosować kolejne przekształcenie.

Obraz przedziału $ (0, 4) $ przez funkcję $ g $ wynosi:

$$ g\big((0,4)\big) = (0,2) $$

Widzimy, że nadal otrzymujemy zbiór otwarty.

Oznacza to, że przeciwobraz zbioru $ (0,2) $ przez funkcję złożoną:

$$ (g \circ f)^{-1}(0,2) $$

jest również zbiorem otwartym.

W ten sposób widać, że funkcja $ g \circ f(x) = \frac{x^2}{2} $ spełnia warunek ciągłości. To rozumowanie można powtórzyć dla dowolnego zbioru otwartego, dlatego wnioskujemy, że funkcja złożona jest ciągła na całym $ \mathbb{R} $.

Dowód

Przejdźmy teraz do ogólnego uzasadnienia tego faktu.

$ f : X \to Y $
$ g : Y \to Z $

Niech $ U \subseteq Z $ będzie zbiorem otwartym. Aby wykazać ciągłość funkcji $ g \circ f $, należy sprawdzić, czy jej przeciwobraz:

$$ (g \circ f)^{-1}(U) $$

jest zbiorem otwartym w $ X $.

Ponieważ funkcja $ g $ jest ciągła, zbiór $ g^{-1}(U) $ jest otwarty w $ Y $.

Z kolei ciągłość funkcji $ f $ oznacza, że przeciwobraz tego zbioru przez $ f $, czyli:

$$ f^{-1}\big(g^{-1}(U)\big) $$

jest otwarty w $ X $.

Zauważmy, że:

$$ (g \circ f)^{-1}(U) = f^{-1}\big(g^{-1}(U)\big) $$

Otrzymujemy więc, że przeciwobraz dowolnego zbioru otwartego przez funkcję złożoną jest zbiorem otwartym.

To dokładnie oznacza, że funkcja $ g \circ f $ jest ciągła.