Definicja ciągłości funkcji przez zbiory otwarte
Funkcja \( f : X \to Y \) jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu \( x \in X \) oraz każdego zbioru otwartego \( U \subset Y \), który zawiera \( f(x) \), istnieje otoczenie \( V \) punktu \( x \) takie, że \( f(V) \subset U \).
Równoważnie, funkcja \( f : X \to Y \) jest ciągła wtedy, gdy dla każdego zbioru otwartego \( U \subset Y \) jego przeciwobraz \( f^{-1}(U) \) jest zbiorem otwartym w przestrzeni \( X \).
Można to ująć jeszcze prościej: przeciwobraz każdego zbioru otwartego w przeciwdziedzinie pozostaje zbiorem otwartym w dziedzinie.
To podejście daje w pełni topologiczną definicję ciągłości, opartą wyłącznie na własnościach zbiorów otwartych, bez odwoływania się do odległości czy granic.
W literaturze takie ujęcie określa się jako definicję ciągłości funkcji przez zbiory otwarte.
Uwaga : Definicja ta jest równoważna klasycznej definicji analitycznej typu \(\varepsilon\)-\(\delta\). Oznacza to, że obie opisują dokładnie tę samą własność, choć z dwóch różnych punktów widzenia. Definicja analityczna mówi, że funkcja \( f \) jest ciągła w punkcie \( x_0 \in \mathbb{R} \), jeśli dla każdego \(\varepsilon > 0\) istnieje \(\delta > 0\) takie, że z nierówności \( |x - x_0| < \delta \) wynika \( |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon \). Jest to standardowe ujęcie znane z kursów analizy matematycznej.
Ciągłość można opisać także za pomocą zbiorów domkniętych: funkcja jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz każdego zbioru domkniętego jest zbiorem domkniętym.
Dokładniej, dla funkcji \( f : X \to Y \) między przestrzeniami topologicznymi zachodzi: \( f \) jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru domkniętego \( C \subset Y \) zbiór \( f^{-1}(C) \) jest domknięty w \( X \).
Pokazuje to, że ciągłość można równie dobrze opisywać przy użyciu zbiorów otwartych lub domkniętych. Oba podejścia są równoważne i stanowią podstawę topologii.
Przykład
Rozważmy funkcję \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) daną wzorem \( f(x) = x^2 \).
Sprawdzimy jej ciągłość, korzystając z definicji opartej na zbiorach otwartych.
Zgodnie z tą definicją funkcja \( f \) jest ciągła, jeśli dla każdego zbioru otwartego \( U \subset \mathbb{R} \) oraz każdego punktu \( x \in f^{-1}(U) \) istnieje otoczenie \( V \) punktu \( x \), takie że \( f(V) \subset U \).
Weźmy konkretny zbiór otwarty: \( U = (1, 4) \), czyli wszystkie liczby rzeczywiste ściśle między 1 a 4.
Najpierw wyznaczamy jego przeciwobraz, czyli zbiór wszystkich \( x \in \mathbb{R} \), dla których \( x^2 \in (1, 4) \).
Rozwiązujemy nierówność:
$$ 1 < x^2 < 4 $$
co jest równoważne:
$$ 1 < |x| < 2 $$
Otrzymujemy:
\( x \in (-2, -1) \cup (1, 2) \), czyli zbiór otwarty.
Widzimy więc, że przeciwobraz \( U \) jest zbiorem otwartym.
Weźmy teraz konkretny punkt, na przykład \( x = 1{,}5 \).
Wartość funkcji wynosi \( f(1{,}5) = 2{,}25 \), a więc rzeczywiście należy do przedziału \( (1, 4) \).
Szukamy teraz otoczenia punktu \( x = 1{,}5 \), które po przekształceniu przez funkcję nadal pozostaje w \( (1, 4) \).
Możemy wybrać przedział \( V = (1{,}4, 1{,}6) \).
Sprawdzamy wartości funkcji na jego krańcach:
$$ f(1{,}4) = 1{,}96 \quad \text{oraz} \quad f(1{,}6) = 2{,}56 $$
Wynika z tego, że cały obraz przedziału \( V \) zawiera się w \( (1, 4) \).
To oznacza, że warunek ciągłości jest spełniony w wybranym punkcie.
Ponieważ podobne rozumowanie można przeprowadzić dla każdego punktu rzeczywistego, wniosek jest następujący: funkcja \( f(x) = x^2 \) jest ciągła na całej prostej rzeczywistej.
Uwaga: Ciągłość nie jest własnością lokalną w sensie sprawdzania jednego punktu „na próbę". Aby funkcja była ciągła, warunek musi być spełniony w każdym punkcie dziedziny. W praktyce oznacza to, że dla dowolnego \( x \in X \) i dowolnego zbioru otwartego \( U \), który zawiera \( f(x) \), zawsze można znaleźć odpowiednie otoczenie \( V \) punktu \( x \).
Dowód
Dowód podzielimy na dwa naturalne kroki.
A] Pierwszy krok
Załóżmy, że funkcja \( f \) jest ciągła w sensie topologicznym.
Niech \( x \in X \) oraz \( U \subset Y \) będzie zbiorem otwartym takim, że \( f(x) \in U \).
Rozważmy zbiór \( V = f^{-1}(U) \), czyli wszystkie punkty z \( X \), których obrazy należą do \( U \).
Z założenia ciągłości wynika, że \( V \) jest zbiorem otwartym.
Ponieważ \( x \in V \) oraz \( f(V) \subset U \), warunek definicji jest spełniony.
B] Drugi krok
Załóżmy teraz odwrotnie, że dla każdego punktu \( x \in X \) i każdego zbioru otwartego \( U \subset Y \), który zawiera \( f(x) \), istnieje otoczenie \( V \) takie, że \( f(V) \subset U \).
Chcemy wykazać, że przeciwobraz dowolnego zbioru otwartego jest zbiorem otwartym.
Niech \( W \subset Y \) będzie zbiorem otwartym i \( x \in f^{-1}(W) \).
Wówczas \( f(x) \in W \), więc z założenia istnieje otoczenie \( V_x \) takie, że \( f(V_x) \subset W \).
Oznacza to, że \( V_x \subset f^{-1}(W) \), czyli każdy punkt zbioru \( f^{-1}(W) \) ma otoczenie zawarte w tym zbiorze.
Stąd wniosek, że \( f^{-1}(W) \) jest zbiorem otwartym.
Wniosek
Obie formy definicji ciągłości są więc równoważne i prowadzą do tego samego pojęcia ciągłości funkcji.
I tak dalej.
